IDZ 里亚布什科 3.1 选项 23

No. 1 给定四个点 A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0)。有必要创建方程：

a) 平面 A1A2A3：为了创建经过三点 A1、A2 和 A3 的平面方程，需要求出向量 A1A2 和 A1A3 的向量积，并将其写成平面方程的形式： A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) 平面方程：6x + 30y + 6z - 60 = 0

b) 直线A1A2：为了创建经过两点A1和A2的直线方程，需要找到直线的方向向量并将其写成直线方程的形式：A1A2 = (5 -2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) 直线方程： x = 2 + 3t y = 3 z = -7 - 12t

c) 垂直于平面 A1A2A3 的线 A4M：为了创建穿过两点 A4 和 M 并垂直于平面 A1A2A3 的线的方程，需要找到平行于该平面的向量的向量积并将其写成直线方向向量的形式： A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5 ) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) A4M = (4-4, 2+3, 0-1) = (0, 5, -1) 直线方程： x = 4 y = 2 + 5t z = 1 - t

d) 平行于直线 A1A2 的直线 A3N：为了创建穿过两点 A3 和 N 并平行于直线 A1A2 的直线的方程，需要使用该直线的方向向量，该直线的方向向量与A1A2 行： A1A2 = (5-2 , 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A3N = (x-1, y-2, z-7) 直线方程： x = 2 + 3t y = 2 z = -7 - 12t

e) 通过点 A4 并垂直于线 A1A2 的平面：为了创建通过点 A4 并垂直于线 A1A2 的平面的方程，需要使用该线的方向向量，该向量与方向一致直线 A1A2 的向量： A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) 平面的法向量将垂直于直线 A1A4 的方向向量，所以我们通过直线A1A2的方向向量与直线A1A4的方向向量的向量积求得： n = A1A2 x A1A4 = (33, -18, -3) 平面方程： 33x - 18y - 3z + 27 = 0

f) 直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的角度的正弦： 为了求直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的角度的正弦，需要求直线 A1A4 的方向向量在平面法向量上的投影A1A2A3 除以线 A1A4 的方向向量长度： A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30 , 6) sin(角度) = |proj(A1A4,n)| / |A1A4| |项目（A1A4，n）| =|A1A4| * sin(角度) = |A1A4| * |n| * sin(角度) / |A1A4| =|n| * sin(角度) |n| * sin(角度) = |A1A4 x n| = |(-174, 12, 42)| = 629 |n| = 开方(6^2 + 30^2 + 6^2) = 6sqrt(11) sin(角度) = (629) / (6sqrt(11)*sqrt(30)) = 29 / (sqrt(11)5开方(2)) 答案：sin(角度) = 29 / (sqrt(11)5sqrt(2))

g) 坐标平面Oxy与平面A1A2A3之间的夹角的余弦：为了求出坐标平面Oxy与平面A1A2A3之间的夹角的余弦，需要求出这些平面的法向量的标量积除以它们的长度的乘积： 坐标平面 Oxy 的法向向量： n1 = (0, 0, 1) 平面 A1A2A3 的法向向量： n2 = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) cos(angle ) = n1n2 / (|n1||n2|) |n1| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1 |n2| = 开方(6^2 + 30^2 + 6^2) = 6开方(11) n1n2 = 6 cos(角度) = 6 / (16sqrt(11)) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2)) 答案：cos(角度) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2))

No. 2 需要求点 M(4;-3;1) 在平面 x - 2y - z - 15 = 0 上的投影。

一点在平面上的投影等于其在该平面上的正交投影。由于平面由方程给出，我们可以找到平面的法向量和方向

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IDZ Ryabushko 3.1 选项 23 是一组数学或几何问题，其中包括编写平面和直线方程、计算它们之间的角度以及找到平面上点的投影的各种任务。具体来说，这组任务包含以下任务：

1. 给定四个点 A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0)。有必要创建方程： a) 平面A1A2A3； b) 直线 A1A2； c) 直线A4M，垂直于平面A1A2A3； d) 与直线A1A2平行的直线A3N； e) 通过点 A4 并垂直于直线 A1A2 的平面。 您还需要计算： f) 直线A1A4与平面A1A2A3之间夹角的正弦； g) 坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 之间的角度的余弦。

2. 需要找到点 M(4;–3;1) 在平面 x – 2y – z – 15 = 0 上的投影。

3. 需要为穿过点 K(2;–5;3) 并平行于 Oxz 平面的平面创建方程。

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