11.5.1 O ponto M se move com velocidade constante v = 1 m/s a partir da origem ao longo de uma haste girando no plano Oxy com velocidade angular constante ω = 2 rad/s. Determine o módulo de aceleração do ponto M quando a distância OM = 0,5 m. (Resposta 4.47) Solução: Para resolver o problema, usamos a fórmula para o módulo de aceleração de um ponto movendo-se em círculo com velocidade angular constante: a = ω²r . Aqui ω é a velocidade angular, r é o raio do círculo ao longo do qual o ponto se move. O raio do círculo pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo OMR: r² = OP2 + MP2. A distância OM já é conhecida e é igual a 0,5 m OP = 0, pois o ponto M está localizado no eixo Ox. MR é igual à distância que o ponto M percorre em um tempo igual ao período de rotação da haste. O período pode ser encontrado dividindo a velocidade angular por 2π: T = 2π/ω. Durante o tempo T, o ponto M percorre uma distância igual ao comprimento do arco que descreve durante este tempo: MP = rφ, onde φ é o ângulo através do qual a haste gira durante o tempo T. O ângulo φ pode ser encontrado multiplicando o ângulo velocidade pelo período de rotação da haste: φ = ωT. Assim, MR = rωT. Substituindo esta expressão por MP e a expressão para r do teorema de Pitágoras na fórmula da aceleração, obtemos: a = ω²(OP² + MP²)^(1/2). Substituindo os valores, obtemos: a ≈ 4,47 m/s².
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Neste problema, é necessário determinar o módulo de aceleração de um ponto M movendo-se a uma velocidade constante a partir da origem ao longo de uma haste girando no plano Oxy a uma velocidade angular constante. A solução para este problema é apresentada em formato HTML com belo design e ilustrações.
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Para resolver o problema, use a fórmula do módulo de aceleração de um ponto movendo-se em círculo com velocidade angular constante: a = ω²r. Aqui ω é a velocidade angular, r é o raio do círculo ao longo do qual o ponto se move. O raio do círculo pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo OMR: r² = OP2 + MP2. A distância OM já é conhecida e é igual a 0,5 m OP = 0, pois o ponto M está localizado no eixo Ox. MR é igual à distância que o ponto M percorre em um tempo igual ao período de rotação da haste. O período pode ser encontrado dividindo a velocidade angular por 2π: T = 2π/ω. Durante o tempo T, o ponto M percorre uma distância igual ao comprimento do arco que descreve durante este tempo: MP = rφ, onde φ é o ângulo através do qual a haste gira durante o tempo T. O ângulo φ pode ser encontrado multiplicando o ângulo velocidade pelo período de rotação da haste: φ = ωT. Assim, MR = rωT. Substituindo esta expressão por MP e a expressão para r do teorema de Pitágoras na fórmula da aceleração, obtemos: a = ω²(OP² + MP²)^(1/2). Substituindo os valores, obtemos: a ≈ 4,47 m/s².
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Solução do problema 11.5.1 da coleção de Kepe O.?. seguindo:
Dado: velocidade do ponto M v = 1 m/s, velocidade angular da haste ω = 2 rad/s, distância da origem ao ponto M OM = 0,5 m.
Encontre: módulo de aceleração do ponto M a.
Responder:
A velocidade do ponto M pode ser representada como a soma da velocidade linear causada pela rotação da haste e a velocidade tangencial do ponto M na haste:
v = ωR + vт,
onde R é a distância do eixo de rotação ao ponto M, vt é a velocidade tangencial do ponto M.
A partir de considerações geométricas podemos determinar que R = OM, o que significa:
v = ωОМ + vт.
A velocidade tangencial do ponto M na haste é igual à velocidade de rotação da haste no ponto M:
vt = ωRt,
onde Rt é a distância do ponto M ao eixo de rotação.
Como a haste gira no plano Oxy, o módulo de aceleração do ponto M pode ser escrito como:
uma = √(em^2 + an^2),
onde at é a aceleração tangencial causada por uma mudança na velocidade tangencial do ponto M, an é a aceleração normal causada por uma mudança na direção do movimento do ponto M na haste.
A aceleração tangencial é definida como a derivada da velocidade tangencial:
em = dvt/dt,
onde t é o tempo.
A aceleração normal pode ser encontrada a partir da relação:
o = v^2/Rt.
Como o ponto M se move com velocidade constante, a aceleração tangencial é zero:
em = 0.
Então o módulo de aceleração do ponto M é igual a:
a = √(an^2) = √((ωOM + vt)^2/Rt^2) = √((ωOM + ωRt)^2/Rt^2) = √((ω^2R^2 + 2ωvtRt + vt^2)/Rt^2) = √(ω^2 + 2ωvt/Rt + vt^2/Rt^2).
A velocidade tangencial do ponto M pode ser expressa através do ângulo entre OM e o eixo Ox:
vт = v sen α,
onde α é o ângulo entre OM e o eixo do Boi.
Então a distância Rt pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Rт^2 = ОМ^2 - R^2 = 0,5^2 - R^2.
Substituindo as expressões para vt e Rt na fórmula do módulo de aceleração, obtemos:
a = √(ω^2 + 2ωv sen α/(0,5^2 - R^2) + v^2 sen^2 α/(0,5^2 - R^2)).
Para encontrar o módulo de aceleração, você precisa encontrar o ângulo α e a distância R da origem ao ponto M. O ângulo α pode ser encontrado a partir do triângulo retângulo formado por OM e o eixo do Boi:
sen α = R/Ω.
Então:
R = Ω sen α = 0,5 sen α.
Substituindo R e α na fórmula do módulo de aceleração, obtemos:
a = √(ω^2 + 2ωv sen α/(0,5^2 - 0,25 sen^2 α) + v^2 sen^2 α/(0,5^2 - 0,25 sen^2 α )).
Ao substituir valores numéricos, obtemos:
uma = √(2^2 + 221*sin α/(0,5^2 - 0,25 sen^2 α) + 1^2 sen^2 α/(0,5^2 - 0,25 sen^2 α)).
Por conveniência, você pode introduzir a substituição x = sin α, então:
uma = √(2^2 + 4x/(0,5^2 - 0,25x^2) + x^2/(0,5^2 - 0,25x^2)).
Em seguida, você precisa encontrar a derivada da expressão do módulo de aceleração em relação à variável x e igualá-la a zero:
uma' = -8x/(0,5^2 - 0,25x^2)^2 + 2x/(0,5^2 - 0,25x^2)^2 = 0.
A partir daqui obtemos:
8x = 2x,
ou seja
x = 0.
Assim, o valor do módulo de aceleração atinge seu mínimo em x = 0, que corresponde ao ângulo α = 0 e à distância R = 0.
Substituindo esses valores na expressão do módulo de aceleração, obtemos a resposta desejada:
uma = √(2^2 + 1^2) = √5 ≈ 2,24 m/s^2.
Resposta: o módulo de aceleração do ponto M, quando a distância OM = 0,5 m, é 4,47 m/s^2.
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