IDZ Ryabushko 3.1 Opción 23

No. 1 Dados cuatro puntos A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). Es necesario crear ecuaciones:

a) Planos A1A2A3: Para crear la ecuación de un plano que pasa por tres puntos A1, A2 y A3, es necesario encontrar el producto vectorial de los vectores A1A2 y A1A3 y escribirlo en forma de ecuación del plano: A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) Ecuación plana: 6x + 30y + 6z - 60 = 0

b) Línea A1A2: Para crear una ecuación de una línea que pasa por dos puntos A1 y A2, es necesario encontrar el vector director de la línea y escribirlo en forma de ecuación de una línea: A1A2 = (5 -2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) Ecuación lineal: x = 2 + 3t y = 3 z = -7 - 12t

c) Línea A4M perpendicular al plano A1A2A3: Para crear una ecuación para una línea que pasa por dos puntos A4 y M y perpendicular al plano A1A2A3, es necesario encontrar el producto vectorial de vectores paralelos a este plano y escribirlo. en forma de vector director de la recta: A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5 ) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) A4M = (4-4, 2+3, 0-1) = (0, 5, -1) Ecuación lineal : x = 4 y = 2 + 5t z = 1 - t

d) Línea A3N paralela a la línea A1A2: Para crear una ecuación para una línea que pasa por dos puntos A3 y N y paralela a la línea A1A2, es necesario utilizar el vector director de esta línea, que coincide con el vector director de línea A1A2: A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A3N = (x-1, y-2, z-7) Ecuación de línea: x = 2 + 3t y = 2 z = -7 - 12t

e) Un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2: Para crear una ecuación para un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2, es necesario utilizar el vector director de esta recta, que coincide con la dirección vector de la recta A1A2: A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) El vector normal del plano será perpendicular al vector director de la recta A1A4, por lo que encuéntrelo a través del producto vectorial del vector director de la recta A1A2 y el vector director de la recta A1A4: n = A1A2 x A1A4 = (33, -18, -3) Ecuación plana: 33x - 18y - 3z + 27 = 0

e) Seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3: Para encontrar el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3, es necesario encontrar la proyección del vector director de la recta A1A4 sobre el vector normal del plano. A1A2A3 y dividirlo por la longitud del vector director de la recta A1A4: A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30 , 6) pecado(ángulo) = |proj(A1A4,n)| / |A1A4| |proyecto(A1A4,n)| = |A1A4| * pecado(ángulo) = |A1A4| * |norte| * pecado(ángulo) / |A1A4| = |norte| * pecado(ángulo) |n| * pecado(ángulo) = |A1A4 x n| = |(-174, 12, 42)| = 629 |norte| = raíz cuadrada (6^2 + 30^2 + 6^2) = 6raíz cuadrada (11) pecado (ángulo) = (629) / (6área cuadrada (11) * área cuadrada (30)) = 29 / (área cuadrada (11)5raíz cuadrada (2)) Respuesta: sin(ángulo) = 29 / (sqrt(11)5sqrt(2))

g) Coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3: Para encontrar el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3, es necesario encontrar el producto escalar de los vectores normales de estos planos. y dividirlo por el producto de sus longitudes: Vector normal del plano coordenado Oxy: n1 = (0, 0, 1) Vector normal del plano A1A2A3: n2 = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) cos(ángulo ) = n1n2/(|n1||n2|) |n1| = raíz cuadrada (0^2 + 0^2 + 1^2) = 1 |n2| = raíz cuadrada (6^2 + 30^2 + 6^2) = 6raíz cuadrada (11) n1n2 = 6 cos(ángulo) = 6 / (16sqrt(11)) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2)) Respuesta: cos(ángulo) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2))

No. 2 Es necesario encontrar la proyección del punto M(4;-3;1) sobre el plano x - 2y - z - 15 = 0.

La proyección de un punto sobre un plano es igual a su proyección ortogonal sobre este plano. Como el plano está dado por la ecuación, podemos encontrar el vector normal del plano y la dirección

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IDZ Ryabushko 3.1 Opción 23 es un conjunto de problemas de matemáticas o geometría, que incluye varias tareas para componer ecuaciones de planos y líneas, así como calcular ángulos entre ellos y encontrar proyecciones de puntos en un plano. En particular, este conjunto de tareas contiene las siguientes tareas:

1. Dados cuatro puntos A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). Es necesario crear ecuaciones: a) avión A1A2A3; b) recta A1A2; c) recta A4M, perpendicular al plano A1A2A3; d) recta A3N paralela a la recta A1A2; e) un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2. También necesitas calcular: f) seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3; g) coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3.

2. Es necesario encontrar la proyección del punto M(4;–3;1) sobre el plano x – 2y – z – 15 = 0.

3. Es necesario crear una ecuación para un plano que pasa por el punto K(2;–5;3) y es paralelo al plano Oxz.

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