IDZ リャブシュコ 3.1 オプション 23

No. 1 4 つの点 A1(2;3;5) が与えられます。 A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0)。方程式を作成する必要があります。

a) 平面 A1A2A3: 3 点 A1、A2、A3 を通過する平面の方程式を作成するには、ベクトル A1A2 と A1A3 のベクトル積を求め、それを平面の方程式の形式で記述する必要があります。 A1A2 = (5-2、3-3、-7-5) = (3、0、-12) A1A3 = (1-2、2-3、7-5) = (-1、-1、2) n = A1A2 × A1A3 = (6, 30, 6) 平面方程式：6x + 30y + 6z - 60 = 0

b) 直線 A1A2: 2 つの点 A1 と A2 を通る直線の方程式を作成するには、直線の方向ベクトルを見つけて、それを直線の方程式の形式で記述する必要があります。 A1A2 = (5 -2、3-3、-7-5) = (3、0、-12) 直線方程式: x = 2 + 3t y = 3 z = -7 - 12t

c) 平面 A1A2A3 に垂直な直線 A4M: 2 点 A4 と M を通り、平面 A1A2A3 に垂直な直線の方程式を作成するには、この平面に平行なベクトルのベクトル積を求めて書く必要があります。直線の方向ベクトルの形式: A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5) ) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) A4M = (4-4, 2+3, 0-1) = (0, 5, -1) 直線方程式: x = 4 y = 2 + 5t z = 1 - t

d) 直線 A1A2 に平行な直線 A3N: 2 つの点 A3 と N を通り、直線 A1A2 に平行な直線の方程式を作成するには、この直線の方向ベクトルを使用する必要があります。この直線の方向ベクトルは、次の方向ベクトルと一致します。直線 A1A2: A1A2 = (5-2 , 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A3N = (x-1, y-2, z-7) 直線方程式: x = 2 + 3t y = 2 z = -7 - 12t

e) 点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面: 点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式を作成するには、方向と一致するこの線の方向ベクトルを使用する必要があります。直線 A1A2 のベクトル: A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) 平面の​​法線ベクトルは直線 A1A4 の方向ベクトルに垂直になるので、直線 A1A2 の方向ベクトルと直線 A1A4 の方向ベクトルのベクトル積で求めます。 n = A1A2 x A1A4 = (33, -18, -3) 平面方程式: 33x - 18y - 3z + 27 = 0

e) 線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦: 線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を求めるには、線 A1A4 の方向ベクトルの平面の法線ベクトルへの投影を見つける必要があります。 A1A2A3 を直線 A1A4 の方向ベクトルの長さで割ります。 A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30) , 6) sin(角度) = |proj(A1A4,n)| / |A1A4| |proj(A1A4,n)| = |A1A4| * sin(角度) = |A1A4| * |n| * sin(角度) / |A1A4| = |n| * sin(角度) |n| * sin(角度) = |A1A4 x n| = |(-174, 12, 42)| = 629 |n| = sqrt(6^2 + 30^2 + 6^2) = 6sqrt(11) sin(角度) = (629) / (6sqrt(11)*sqrt(30)) = 29 / (sqrt(11)5sqrt(2)) 答え: sin(角度) = 29 / (sqrt(11)5sqrt(2))

g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦: 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦を求めるには、これらの平面の法線ベクトルのスカラー積を見つける必要があります。座標平面 Oxy の法線ベクトル: n1 = (0, 0, 1) 平面 A1A2A3 の法線ベクトル: n2 = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) cos(angle) ) = n1n2 / (|n1||n2|) |n1| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1 |n2| = sqrt(6^2 + 30^2 + 6^2) = 6sqrt(11) n1n2 = 6 cos(角度) = 6 / (16sqrt(11)) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2)) 答え: cos(角度) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2))

No. 2 点 M(4;-3;1) の平面 x - 2y - z - 15 = 0 への射影を求める必要があります。

平面上への点の投影は、この平面上への正投影と等しくなります。平面は方程式で与えられるので、平面の法線ベクトルと方向を求めることができます。

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IDZ Ryabushko 3.1 オプション 23 は数学または幾何学の問題のセットで、平面と直線の方程式の作成、それらの間の角度の計算、平面上の点の投影の検索に関するさまざまなタスクが含まれます。特に、この一連のタスクには次のタスクが含まれます。

1. 4 つの点 A1(2;3;5) が与えられるとします。 A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0)。方程式を作成する必要があります。 a) 平面 A1A2A3。 b) ストレート A1A2。 c) 平面 A1A2A3 に垂直な直線 A4M。 ｄ）直線Ａ１Ａ２に平行な直線Ａ３Ｎ。 ｅ）点Ａ４を通り、直線Ａ１Ａ２に垂直な平面。 次のことも計算する必要があります。 f) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦。 g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦。

2. 点 M(4;–3;1) の平面 x – 2y – z – 15 = 0 への投影を見つける必要があります。

3. 点 K(2;–5;3) を通り、Oxz 平面に平行な平面の方程式を作成する必要があります。

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