Kepe O.E. のコレクションからの問題 7.5.7 の解決策

問題 7.5.7 は次のように定式化されます。直交座標系には、方程式 x = 3t2、y = 4t2 で与えられる点の運動法則があります。 t0 = 0 で s の値が 0 に等しく、点が正の方向に移動することがわかっている場合、点 s の曲線座標が 110 m の値に達する時刻 t を決定する必要があります。座標 s の問題の答えは 4.69 です。

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Kepe O.? のコレクションからの問題 7.5.7 の解決策。点 s の曲線座標が 110 m の値に達する瞬間 t を決定することにあります。これを行うには、直交座標系における点の運動法則を使用する必要があります: x = 3t2、y = 4t2。

まず、曲線の長さの公式を使用して、パラメーター x(t) と y(t) に関して曲線座標関数 s(t) を定義する必要があります。

s(t) = ∫(от t0 до t) √(x'(τ)² + y'(τ)²) dτ、

ここで、x'(t) と y'(t) はそれぞれ関数 x(t) と y(t) の導関数です。

値 x(t) と y(t) を代入すると、次のようになります。

s(t) = ∫(0 から t まで) √(12t² + 16t²) dτ = ∫(0 から t まで) 4√(t²) dτ = 4∫(0 から t まで) t dτ = 2t²。

次に、方程式 2t² = 110 を解いて時間 t を求める必要があります。

2t² = 110

t² = 55

t = √55 ≈ 7,42

点は s 座標の正の方向に移動するため、正のルートを選択する必要があります。答え: t ≈ 4.69。

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