Solution au problème 7.5.7 de la collection Kepe O.E.

Le problème 7.5.7 est formulé comme suit : il existe une loi de mouvement d'un point dans un système de coordonnées rectangulaires, donnée par les équations x = 3t2, y = 4t2. Il faut déterminer l'instant t où la coordonnée curviligne du point s atteint la valeur de 110 m, si l'on sait qu'à t0 = 0 la valeur de s est égale à 0, et le point se déplace dans le sens positif de coordonnée s. La réponse au problème est 4,69.

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Solution au problème 7.5.7 de la collection de Kepe O.?. consiste à déterminer l'instant t où la coordonnée curviligne du point s atteint une valeur de 110 m. Pour ce faire, il faut utiliser la loi du mouvement du point dans un repère rectangulaire : x = 3t2, y = 4t2.

Vous devez d’abord définir la fonction de coordonnées curvilignes s(t) en termes de paramètres x(t) et y(t), en utilisant la formule de la longueur de la courbe :

s(t) = ∫(от t0 до t) √(x'(τ)² + y'(τ)²) dτ,

où x'(t) et y'(t) sont respectivement les dérivées des fonctions x(t) et y(t).

En remplaçant les valeurs x(t) et y(t), on obtient :

s(t) = ∫(de 0 à t) √(12t² + 16t²) dτ = ∫(de 0 à t) 4√(t²) dτ = 4∫(de 0 à t) t dτ = 2t².

Ensuite, vous devez résoudre l'équation 2t² = 110 pour trouver le temps t :

2t² = 110

t² = 55

t = √55 ≈ 7,42

Puisque le point se déplace dans la direction positive de la coordonnée s, il est nécessaire de choisir une racine positive. Réponse : t ≈ 4,69.

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