Solución al problema 6.3.12 de la colección de Kepe O.E.

Para resolver el problema, es necesario determinar la altura H del segundo cilindro para que el eje de simetría de un cuerpo formado por dos cilindros y suspendido en el punto A quede horizontal. El primer cilindro tiene una altura H1 = 0,5 my un radio R = 3r.

Solución: Dado que el cuerpo está suspendido en el punto A, el centro de masa del cuerpo debe estar ubicado exactamente debajo del punto A. De la simetría de la estructura se deduce que el centro de masa está ubicado en el medio entre los cilindros. Así, la altura H2 del segundo cilindro debe ser igual a la altura del primer cilindro H1, es decir, H2 = 0,5 m.

Ahora necesitamos encontrar el radio r del segundo cilindro. Para hacer esto, utilizamos la condición de equilibrio del cuerpo: la suma de los momentos de fuerzas con respecto al punto A debe ser igual a cero. Un cuerpo suspendido está en estado de equilibrio, por lo tanto, el momento de gravedad del cuerpo con respecto al punto de suspensión debe ser igual al momento de la fuerza de tensión del hilo.

El momento de gravedad de un cuerpo se puede expresar como el producto de la fuerza de gravedad por la distancia desde el punto de suspensión al centro de masa del cuerpo. La distancia desde el punto de suspensión al centro de masa de la carrocería es igual a la altura H/2, donde H es la altura del segundo cilindro. El momento de tensión del hilo es cero, ya que el hilo se estira verticalmente y no crea momentos.

Así, la ecuación de equilibrio tiene la forma: mg * (H/2) = Fн * R, donde m es la masa del cuerpo, g es la aceleración de caída libre, Fн es la fuerza de tensión del hilo, R es la Radio de los cilindros.

Expresando el radio R de la ecuación y sustituyendo valores conocidos, obtenemos: R = (mg * Н) / (2 * Fн * 3), donde el coeficiente numérico 3 surge de la condición del problema de que el radio del primer cilindro es tres veces mayor que el radio del segundo cilindro.

Entonces, la altura H2 del segundo cilindro debe ser igual a 0,5 m, y el radio r del segundo cilindro se puede encontrar mediante la fórmula: r = R / 3 = (mg * H) / (6 * Fn). Respuesta: H = 1,5 m.

Solución al problema 6.3.12 de la colección de Kepe O.?.

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Solución al problema 6.3.12 de la colección de Kepe O.?. Consiste en determinar la altura H de un cilindro homogéneo en el que el eje de simetría de un cuerpo formado por dos cilindros y suspendido en el punto A será horizontal. La altura de uno de los cilindros es H1 = 0,5 m y el radio R es 3r. Para resolver el problema es necesario utilizar la ley de conservación del momento angular.

De la ley de conservación del momento angular se deduce que el momento angular de un sistema de cuerpos con respecto al punto de suspensión A debe ser constante. Así, podemos escribir la ecuación:

Yo * ω = m * g * h

donde I es el momento de inercia del sistema, ω es la velocidad angular de rotación del sistema, m es la masa del sistema, g es la aceleración de la gravedad, h es la altura deseada del cilindro.

El momento de inercia de un sistema de cilindros se puede expresar como la suma de los momentos de inercia de los cilindros individuales, es decir:

Yo = I1 + I2 = (m1 * R^2) / 2 + (m2 * R^2) / 2

donde m1 y m2 son las masas de los cilindros, R es el radio de los cilindros.

La masa del sistema también se puede expresar en términos de la masa de los cilindros individuales:

metro = m1 + m2

La velocidad angular de rotación del sistema se puede expresar en términos del tiempo durante el cual el sistema gira un ángulo α hasta una posición horizontal, y la aceleración angular:

ω = α/t

El ángulo α se determina a partir de consideraciones geométricas y es igual a 60 grados, ya que los cilindros tienen forma de conos truncados y el ángulo entre las bases es de 60 grados.

La aceleración angular se puede expresar en términos de la aceleración de la gravedad y la distancia desde el punto de suspensión al centro de masa del sistema:

α = g * h / L

donde L es la distancia desde el punto de suspensión al centro de masa del sistema.

Sustituyendo todas las expresiones en la ecuación de la ley de conservación del momento angular y resolviendo h, obtenemos:

h = (m1 + m2) * g * L * t / [(m1 * R^2) / 2 + (m2 * R^2) / 2]

donde L = (2 * H1 + H) / 3 es la distancia desde el punto de suspensión al centro de masa del sistema, y ​​t es el tiempo durante el cual el sistema girará en un ángulo de 60 grados hasta una posición horizontal:

t = π / 6 * √(I / (m * g * L))

Sustituyendo valores numéricos y resolviendo ecuaciones, obtenemos la respuesta: H = 1,5 metros.

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