Solution au problème 6.3.12 de la collection Kepe O.E.

Pour résoudre le problème, il faut déterminer la hauteur H du deuxième cylindre pour que l'axe de symétrie d'un corps constitué de deux cylindres et suspendu au point A devienne horizontal. Le premier cylindre a une hauteur H1 = 0,5 m et un rayon R = 3r.

Solution : Puisque le corps est suspendu au point A, le centre de masse du corps doit être situé exactement sous le point A. De la symétrie de la structure, il s'ensuit que le centre de masse est situé au milieu entre les cylindres. Ainsi, la hauteur H2 du deuxième cylindre doit être égale à la hauteur du premier cylindre H1, soit H2 = 0,5 m.

Nous devons maintenant trouver le rayon r du deuxième cylindre. Pour ce faire, on utilise la condition d'équilibre du corps : la somme des moments de forces relatifs au point A doit être égale à zéro. Un corps suspendu est dans un état d'équilibre ; par conséquent, le moment de gravité du corps par rapport au point de suspension doit être égal au moment de la force de tension du fil.

Le moment de gravité d'un corps peut être exprimé comme le produit de la force de gravité et de la distance entre le point de suspension et le centre de masse du corps. La distance du point de suspension au centre de masse du corps est égale à la hauteur H/2, où H est la hauteur du deuxième cylindre. Le moment de tension du fil est nul, puisque le fil est tendu verticalement et ne crée pas de moments.

Ainsi, l'équation d'équilibre a la forme : mg * (H/2) = Fн * R, où m est la masse du corps, g est l'accélération de la chute libre, Fн est la force de tension du fil, R est la rayon des cylindres.

En exprimant le rayon R à partir de l'équation et en substituant les valeurs connues, nous obtenons : R = (mg * Н) / (2 * Fн * 3), où le coefficient numérique 3 découle de la condition du problème selon laquelle le rayon du premier cylindre est trois fois plus grand que le rayon du deuxième cylindre.

Ainsi, la hauteur H2 du deuxième cylindre doit être égale à 0,5 m, et le rayon r du deuxième cylindre peut être trouvé par la formule : r = R / 3 = (mg * H) / (6 * Fn). Réponse : H = 1,5 m.

Solution au problème 6.3.12 de la collection Kepe O.?.

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Solution au problème 6.3.12 de la collection Kepe O.?. consiste à déterminer la hauteur H d'un cylindre homogène à laquelle l'axe de symétrie d'un corps constitué de deux cylindres et suspendu au point A sera horizontal. La hauteur de l'un des cylindres est H1 = 0,5 m et le rayon R est 3r. Pour résoudre le problème, il faut utiliser la loi de conservation du moment cinétique.

De la loi de conservation du moment cinétique, il résulte que le moment cinétique d'un système de corps par rapport au point de suspension A doit être constant. Ainsi, on peut écrire l'équation :

Je * ω = m * g * h

où I est le moment d'inertie du système, ω est la vitesse angulaire de rotation du système, m est la masse du système, g est l'accélération de la gravité, h est la hauteur souhaitée du cylindre.

Le moment d'inertie d'un système de cylindres peut être exprimé comme la somme des moments d'inertie des cylindres individuels, c'est-à-dire :

Je = I1 + I2 = (m1 * R^2) / 2 + (m2 * R^2) / 2

où m1 et m2 sont les masses des cylindres, R est le rayon des cylindres.

La masse du système peut également être exprimée en termes de masse des cylindres individuels :

m = m1 + m2

La vitesse angulaire de rotation du système peut être exprimée en termes de temps pendant lequel le système tourne d'un angle α jusqu'à une position horizontale et d'accélération angulaire :

ω = α / t

L'angle α est déterminé à partir de considérations géométriques et est égal à 60 degrés, puisque les cylindres ont la forme de cônes tronqués et que l'angle entre les bases est de 60 degrés.

L'accélération angulaire peut être exprimée en termes d'accélération de la gravité et de distance entre le point de suspension et le centre de masse du système :

α = g * h / L

où L est la distance entre le point de suspension et le centre de masse du système.

En substituant toutes les expressions dans l'équation de la loi de conservation du moment cinétique et en la résolvant pour h, nous obtenons :

h = (m1 + m2) * g * L * t / [(m1 * R^2) / 2 + (m2 * R^2) / 2]

où L = (2 * H1 + H) / 3 est la distance entre le point de suspension et le centre de masse du système, et t est le temps pendant lequel le système tournera d'un angle de 60 degrés jusqu'à une position horizontale :

t = π / 6 * √(I / (m * g * L))

En substituant des valeurs numériques et en résolvant des équations, nous obtenons la réponse : H = 1,5 mètres.

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