Kepe O.E. のコレクションからの問題 21.1.1 の解決策。

21.1.1 特定の機械システムでは、小さな振動は微分方程式 q + (4π)2q = 0 で記述できます。ここで、q - は一般化座標 m を表します。システムの初期変位は q0 = 0.02 m です。初速qo=2m/とする。振動の振幅を決定する必要があります。この方程式の解は q = q0cos(2πt/T) になります。ここで、T は発振周期です。振動の振幅は、A = |q0| として計算できます。 = 0.02 * |cos(2πt/T)|。初期条件を代入すると、A = 0.02 m * |cos(0)| が得られます。 = 0.02 m * 1 = 0.02 m ただし、この値は振動振幅の最大値を表します。 q = q0cos(2πt/T) なので、最小振幅値は |q0| に等しくなります。 = 0.02 m * |cos(π)| = 0.02 m * (-1) = -0.02 m したがって、振動の振幅は 0.02 m - (-0.02 m) = 0.04 m となり、答えは 0.160 m となります。

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この問題は、小さな振動が微分方程式 q + (4π)2q = 0 で記述できる機械システムを記述します。ここで、q は一般化された座標 m です。初期条件は次のように与えられます: q0 = 0.02 m および qo = 2 m /秒。振動の振幅を決定する必要があります。

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Kepe O.? のコレクションからの問題 21.1.1 の解決策。微分方程式 q + (4π)²q = 0 で記述される機械システムの振動の振幅を決定することにあります。ここで、q は一般化された座標 m です。

問題の初期条件: システムの初期変位 q₀ = 0.02 m、初速度 q₀' = 2 m/s。

振動の振幅を求めるには、この微分方程式を解く必要があります。このような方程式の一般的な解は、q(t) = A の形式になります。cos(2πt) + Bsin(2πt)。ここで、A と B は初期条件によって決定される任意の定数です。

初期条件 q₀ = 0.02 m および q₀' = 2 m/s を使用すると、次の連立方程式を書くことができます。

q(0) = Acos(0) + Bsin(0) = A = 0.02 分 q'(0) = -2πAsin(0) + 2πBcos(0) = 2m/秒

ここから B = 0.16 m がわかります。これは、振動振幅が |A + iB| に等しいことを意味します。 = sqrt(A² + B²) = 0.16 m。

したがって、問題の解決策は、機械システムの振動振幅 (0.16 m) を決定することです。

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