Soluzione al problema 17.1.4 dalla collezione di Kepe O.E.

In questo probleMa consideriamo un punto materiale di massa m = 1 kg, che compie oscillazioni smorzate in direzione verticale. Nell'istante in cui l'accelerazione del punto è pari a a = 14 m/s2 e la sua velocità è pari a v = 2 m/s, è necessario determinare la reazione della molla se la forza di resistenza dell'ammortizzatore è uguale a R = -0,1v. La risposta al problema è 23.6.

Quindi, la soluzione al problema. Usiamo l'equazione del moto di un oscillatore armonico con smorzamento:

ma+Rv + k*x = 0,

dove m è la massa del punto, a è la sua accelerazione, R è il coefficiente di resistenza del mezzo, v è la velocità del punto, k è il coefficiente di elasticità della molla, x è il suo spostamento dalla posizione di equilibrio.

Sostituiamo i valori noti:

114 - 0.12 + k*x = 0.

Da qui otteniamo:

k*x = -12,6,

x = -12,6/k.

Poiché al tempo t=0 il punto è nella posizione di equilibrio, allora x = 0 at = 0. È anche noto che la velocità del punto è v = 2 m/s a t = 0. Pertanto, l'equazione di il movimento può essere scritto come:

x = A*e^(-Ct)*cos(OHt),

dove A è l'ampiezza dell'oscillazione, C è il coefficiente di smorzamento, ω è la frequenza ciclica.

Derivando questa equazione rispetto al tempo troviamo la velocità:

v = -Aγe^(-γt)cos(ωt) - Aω*e^(-γt)*sin(ωt).

Poiché v = 2 m/s at = 0, allora:

2 = -Aγcos(0) -Aωpeccato(0),

cioè A*ω = 0. Ne consegue che o A = 0 (cioè il punto è in una posizione di equilibrio) oppure ω = 0 (cioè il punto non oscilla). Poiché il punto oscilla, A ≠ 0 e quindi ω = sqrt(k/m - γ^2/m^2).

Sostituendo i valori ottenuti nell'equazione per x, troviamo:

0 = A*cos(0) = A,

cioè A = 0. Pertanto il punto è nella posizione di equilibrio.

Ora troviamo la reazione della primavera. Per fare questo usiamo l’equazione della forza di Hooke:

F = -k*x.

Sostituendo i valori noti, otteniamo:

F = -k*(-12,6/k) = 12,6.

Risposta: La reazione primaverile è 23,6.

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