IDZ 12.1 – Opzione 2. Soluzioni Ryabushko A.P.

Compito n. 1. Dimostrare la convergenza della serie e calcolarne la somma.

Consideriamo la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. Per studiarne la convergenza utilizziamo il test di D'Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

Quindi la serie converge. Per trovare la sua somma usiamo la formula dell'esponente:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Compito n. 2. Esaminare la serie indicata con termini positivi di convergenza.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

Per studiare la convergenza di questa serie, utilizziamo il test di D’Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

cioè la serie diverge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

Per studiare la convergenza di questa serie utilizziamo il criterio integrale:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \sinistra[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ ln2}

cioè la serie converge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

Per studiare la convergenza di questa serie utilizziamo anche il test integrale:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

cioè la serie diverge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, dove $0

Per studiare la convergenza di questa serie utilizziamo il criterio integrale:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Pertanto la serie converge per $\alpha > 1$ e diverge per $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, dove $0

Per studiare la convergenza di questa serie utilizziamo anche il test integrale:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), & \text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{testo } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Pertanto la serie converge per $\alpha > 1$ e diverge per $\alpha \leq 1$.

Compito n.7. Esaminare le serie alternate per verificare la convergenza e la convergenza assoluta.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

Per esaminare la convergenza di questa serie alternata, utilizziamo il test di Leibniz: la sequenza $\left|\frac{1}{n}\right|$ diminuisce monotonicamente fino a zero. Inoltre, per studiare la convergenza assoluta, utilizzeremo un confronto con la serie armonica:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Questa serie diverge perché è una serie armonica. Pertanto, la serie originale con alternanza di segni converge, ma non converge assolutamente.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, dove $0

Per esaminare la convergenza di questa serie alternata, utilizziamo il test di Leibniz: la sequenza $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ diminuisce monotonicamente fino a zero. Per studiare la convergenza assoluta, utilizziamo un confronto con una serie armonica:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Questa serie converge per $\alpha > 1$ e diverge per $\alpha \leq 1$. Pertanto, la serie alternata originaria converge per $\alpha > 1$, e per $\alpha \leq 1$ diverge, ma converge assolutamente.

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