Na krawędzi karuzeli w kształcie dysku o wadze 200 kg i

Na krawędzi karuzeli stoi 5 osób, każda o masie 60 kg. Karuzela ma kształt dysku o masie 200 kg i promieniu 2 m, obracającego się z częstotliwością 1 obr/s. Aby znaleźć częstotliwość obrotu i prędkość kątową karuzeli, należy przesunąć wszystkich ludzi do środka na odległość równą połowie promienia. W tym przypadku ludzi można przedstawić jako masy punktowe.

Aby rozwiązać problem, należy skorzystać z prawa zachowania momentu pędu. Moment pędu układu zamkniętego pozostaje stały, jeśli nie działają na niego momenty sił zewnętrznych. Przesunięcie ludzi w kierunku środka zmieni moment bezwładności układu, ale nie zmieni momentu impulsu.

Początkowo moment pędu układu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej:

L = Iω

gdzie L to moment pędu, I to moment bezwładności, ω to prędkość kątowa.

Moment bezwładności karuzeli z 5 osobami na krawędzi jest równy sumie momentów bezwładności każdej osoby i momentu bezwładności karuzeli bez osób:

I1 = 5mr^2/2 + mr^2 = 15mr^2/2

gdzie m to masa jednej osoby, r to promień karuzeli.

W podobny sposób można wyznaczyć moment bezwładności karuzeli z ludźmi przesuwanymi w stronę środka:

I2 = 5m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8

Zatem moment pędu układu pozostaje stały:

I1ω1 = I2ω2

gdzie ω1 i ω2 to prędkości kątowe karuzeli przed i po przemieszczaniu ludzi.

Zastępując wartości momentów bezwładności i prędkości kątowej otrzymujemy:

15mr^2/2 * 2π = 5mr^2/8 * ω2

ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s - prędkość kątowa karuzeli po przesunięciu się ludzi do środka.

Częstotliwość obrotu karuzeli po przemieszczeniu osób wynosi:

f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2,4 Hz.

Produkt cyfrowy: „Na krawędzi karuzeli”

Cyfrowy produkt „Na krawędzi karuzeli” to wirtualna atrakcja, która pozwoli Ci poczuć adrenalinę i zabawę bez wychodzenia z domu! Znajdziesz się na krawędzi karuzeli, która wygląda jak dysk o masie 200 kg i promieniu 2 m, obracający się z częstotliwością 1 obr./s. Kolorowe światła, muzyka i okrzyki radości będą migać wokół Ciebie. Można poczuć się jak prawdziwy bohater, będąc na skraju karuzeli wraz z innymi uczestnikami atrakcji.

Ten cyfrowy produkt jest odpowiedni dla entuzjastów sportów ekstremalnych i tych, którzy chcą przeżyć coś nowego i ekscytującego. To doskonały prezent dla przyjaciół i rodziny, którzy kochają adrenalinę i niezwykłe przeżycia.

Kup już dziś cyfrowy produkt „Na krawędzi karuzeli” i przeżyj niezapomniane wrażenia w domu!

Problem polega na wyznaczeniu prędkości obrotowej i prędkości kątowej karuzeli po tym, jak pięć osób, każda o wadze 60 kg, przesunie się do jej środka na odległość równą połowie promienia.

Aby rozwiązać problem, należy skorzystać z prawa zachowania momentu pędu. Moment pędu układu zamkniętego pozostaje stały, jeśli nie działają na niego momenty sił zewnętrznych. Przesunięcie ludzi w kierunku środka zmieni moment bezwładności układu, ale nie zmieni momentu impulsu.

Początkowo moment pędu układu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej: L = Iω

Moment bezwładności karuzeli z 5 osobami na krawędzi jest równy sumie momentów bezwładności każdej osoby i momentu bezwładności karuzeli bez osób:

I1 = 5mr^2/2 + mr^2 = 15mr^2/2

gdzie m to masa jednej osoby, r to promień karuzeli.

W podobny sposób można wyznaczyć moment bezwładności karuzeli z ludźmi przesuwanymi w stronę środka:

I2 = 5m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8

Zatem moment pędu układu pozostaje stały:

I1ω1 = I2ω2

gdzie ω1 i ω2 to prędkości kątowe karuzeli przed i po przemieszczaniu ludzi.

Zastępując wartości momentów bezwładności i prędkości kątowej otrzymujemy:

15mr^2/2 * 2π = 5mr^2/8 * ω2 ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s - prędkość kątowa karuzeli po przesunięciu się ludzi do środka.

Częstotliwość obrotu karuzeli po przemieszczeniu osób wynosi:

f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2,4 Hz.

Zatem po przesunięciu ludzi do środka prędkość obrotowa karuzeli prawie się podwoi, a prędkość kątowa wzrośnie ponad pięciokrotnie.

***

Dana jest karuzela w kształcie dysku o masie 200 kg i promieniu 2 m, która obraca się z częstotliwością 1 obr/s. Na krawędzi karuzeli stoi pięć osób o wadze 60 kg każda. Aby znaleźć częstotliwość obrotu i prędkość kątową karuzeli, jeśli wszyscy ludzie przesuną się do jej środka na odległość równą połowie promienia, należy skorzystać z praw zachowania pędu i momentu pędu.

Najpierw znajdźmy moment bezwładności karuzeli względem jej środka, który jest równy:

$I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 = 400$ кг·м²,

gdzie m jest masą karuzeli, R jest jej promieniem.

Następnie wyznaczymy moment bezwładności układu karuzelowego i ludzi względem jego środka po tym, jak wszyscy ludzie zbliżą się do niego:

$I' = \sum_{i=1}^{5} m_i r_i^2 = m\left(\frac{R}{2}\right)^2 + m\left(\frac{R}{2} \right)^2 + mR^2 + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 = 2,5mR^2 $,

gdzie m_i to masa i-tej osoby, r_i to odległość od środka karuzeli do i-tej osoby.

Prawo zachowania momentu pędu stwierdza, że ​​moment pędu układu pozostaje niezmieniony przy braku zewnętrznych momentów obrotowych:

$I\omega = I'\omega',

gdzie ω to prędkość kątowa karuzeli przed poruszeniem się ludzi, ω' to prędkość kątowa karuzeli po poruszeniu się ludzi.

Zastępując znalezione wartości momentów bezwładności, otrzymujemy:

$\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 \cdot \omega = 2,5 \cdot 200 \cdot R^2 \cdot \omega'$

Stąd wyznaczamy prędkość kątową karuzeli po ruchu ludzi:

$\omega' = \frac{1}{5}\omega = \frac{1}{5}\cdot 2\pi = \frac{2\pi}{5}$ kwota/с.

Prędkość obrotowa karuzeli jest równa prędkości kątowej podzielonej przez 2π:

$f = \frac{\omega'}{2\pi} = \frac{1}{5}$obr./s.

Zatem częstotliwość obrotu karuzeli po przesunięciu wszystkich osób do jej środka wynosi 1/5 r/s, a prędkość kątowa wynosi 2π/5 rad/s.

***

1. Kupiłem zdrapkę Kyivstar 100 i od razu doładowałem konto telefoniczne. Bardzo wygodnie!
2. Z aktywacją Zdrapki Kyivstar 100 nie było żadnych problemów, wszystko przebiegło szybko i bezproblemowo.
3. Zdrapka Kyivstar 100 to świetny prezent dla bliskiej osoby, szczególnie jeśli korzysta ona z usług Kyivstar.
4. Cieszę się, że mogę szybko i łatwo doładować swoje konto za pomocą Kyivstar Zdrapka 100.
5. Dzięki Kyivstar Scratch Card 100 nie martwię się już, że stracę równowagę w najbardziej nieodpowiednim momencie.
6. Kupiłem zdrapkę Kyivstar 100 i otrzymałem bonusy na swoim koncie telefonicznym. To niezły bonus!
7. Cenię szybkość i wygodę, dlatego od kilku lat korzystam z karty Kyivstar Zdrapka 100.
8. Duży wybór taryf Kyivstar i możliwość doładowania konta za pomocą karty Kyivstar Zdrapka 100 jest tym, czego potrzebuję.
9. Dzięki Kyivstar Zdrapka 100 mogę kontrolować swoje wydatki i nie przepłacać za niepotrzebne usługi.
10. Polecam Kyivstar Zdrapka 100 każdemu, kto ceni swój czas i chce szybko doładować swoje konto telefoniczne.