Na okraji kolotoče ve tvaru disku o hmotnosti 200 kg a

Na okraji kolotoče je 5 lidí, z nichž každý má hmotnost 60 kg. Kolotoč má tvar disku o hmotnosti 200 kg a poloměru 2 m, rotující frekvencí 1 ot/s. Pro zjištění frekvence otáčení a úhlové rychlosti karuselu je nutné přesunout všechny lidi do středu na vzdálenost rovnající se polovině poloměru. V tomto případě mohou být lidé reprezentováni jako bodové masy.

K vyřešení problému je nutné použít zákon zachování momentu hybnosti. Moment hybnosti uzavřeného systému zůstává konstantní, pokud na něj nepůsobí vnější momenty sil. Pohyb lidí směrem ke středu změní moment setrvačnosti systému, ale nezmění moment hybnosti.

Zpočátku se moment hybnosti systému rovná součinu momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti:

L = Iω

kde L je moment hybnosti, I je moment setrvačnosti, ω je úhlová rychlost.

Moment setrvačnosti karuselu s 5 lidmi na okraji se rovná součtu momentů setrvačnosti každého člověka a momentu setrvačnosti kolotoče bez lidí:

I1 = 5mr^2/2 + mr^2 = 15mr^2/2

kde m je hmotnost jedné osoby, r je poloměr karuselu.

Moment setrvačnosti kolotoče s lidmi, kteří se pohybují směrem ke středu, lze nalézt podobným způsobem:

I2 = 5 m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8

Moment hybnosti systému tedy zůstává konstantní:

I1ω1 = I2ω2

kde ω1 a ω2 jsou úhlové rychlosti karuselu před a po pohybu osob.

Dosazením hodnot momentů setrvačnosti a úhlové rychlosti získáme:

15mr^2/2 * 2π = 5mr^2/8 * ω2

ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s - úhlová rychlost karuselu poté, co se lidé přesunou do středu.

Frekvence otáčení karuselu po přesunu osob je:

f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2,4 Hz.

Digitální produkt: „Na okraji kolotoče“

Digitální produkt „Na hraně kolotoče“ je virtuální atrakcí, která vám umožní zažít adrenalin a zábavu, aniž byste opustili svůj domov! Ocitnete se na okraji kolotoče, který vypadá jako disk o hmotnosti 200 kg a poloměru 2 m, rotující frekvencí 1 ot./s. Kolem vás budou blikat barevná světla, hudba a výkřiky radosti. Můžete se cítit jako skutečný hrdina, být na okraji kolotoče spolu s ostatními účastníky atrakce.

Tento digitální produkt je vhodný pro nadšence extrémních sportů a ty, kteří chtějí zažít něco nového a vzrušujícího. Je to výborný dárek pro přátele a rodinu, kteří milují adrenalin a nevšední zážitky.

Kupte si digitální produkt „Na hraně kolotoče“ ještě dnes a získejte nezapomenutelný zážitek přímo doma!

Problém je najít rychlost otáčení a úhlovou rychlost kolotoče poté, co se pět lidí, každý o hmotnosti 60 kg, přesune do jeho středu ve vzdálenosti rovné polovině poloměru.

K vyřešení problému je nutné použít zákon zachování momentu hybnosti. Moment hybnosti uzavřeného systému zůstává konstantní, pokud na něj nepůsobí vnější momenty sil. Pohyb lidí směrem ke středu změní moment setrvačnosti systému, ale nezmění moment hybnosti.

Zpočátku se moment hybnosti systému rovná součinu momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti: L = Iω

Moment setrvačnosti karuselu s 5 lidmi na okraji se rovná součtu momentů setrvačnosti každého člověka a momentu setrvačnosti kolotoče bez lidí:

I1 = 5mr^2/2 + mr^2 = 15mr^2/2

kde m je hmotnost jedné osoby, r je poloměr karuselu.

Moment setrvačnosti kolotoče s lidmi, kteří se pohybují směrem ke středu, lze nalézt podobným způsobem:

I2 = 5 m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8

Moment hybnosti systému tedy zůstává konstantní:

I1ω1 = I2ω2

kde ω1 a ω2 jsou úhlové rychlosti karuselu před a po pohybu osob.

Dosazením hodnot momentů setrvačnosti a úhlové rychlosti získáme:

15mr^2/2 * 2π = 5mr^2/8 * ω2 ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s - úhlová rychlost karuselu poté, co se lidé přesunou do středu.

Frekvence otáčení karuselu po přesunu osob je:

f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2,4 Hz.

Po přesunutí lidí do středu se tedy rychlost otáčení karuselu téměř zdvojnásobí a úhlová rychlost se zvýší více než pětkrát.

***

Je dán diskovitý kolotoč o hmotnosti 200 kg a poloměru 2 m, který se otáčí frekvencí 1 ot/s. Na okraji kolotoče je pět lidí o hmotnosti 60 kg. Chcete-li zjistit frekvenci otáčení a úhlovou rychlost karuselu, pokud se všichni lidé pohybují do jeho středu ve vzdálenosti rovné polovině poloměru, musíte použít zákony zachování hybnosti a momentu hybnosti.

Nejprve najdeme moment setrvačnosti karuselu vzhledem k jeho středu, který se rovná:

$I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 = 400 $ кг·м²,

kde m je hmotnost karuselu, R je jeho poloměr.

Potom najdeme moment setrvačnosti karuselového systému a lidí vzhledem k jeho středu poté, co se k němu všichni lidé přesunou:

$I' = \sum_{i=1}^{5} m_i r_i^2 = m\left(\frac{R}{2}\right)^2 + m\left(\frac{R}{2} \right)^2 + mR^2 + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 = 2,5mR^2 $,

kde m_i je hmotnost i-té osoby, r_i je vzdálenost od středu karuselu k i-té osobě.

Zákon zachování momentu hybnosti říká, že moment hybnosti systému zůstává nezměněn v nepřítomnosti vnějších točivých momentů:

$I\omega = I'\omega',

kde ω je úhlová rychlost karuselu předtím, než se lidé pohnou, ω' je úhlová rychlost karuselu poté, co se lidé pohnou.

Dosazením nalezených hodnot momentů setrvačnosti získáme:

$\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 \cdot \omega = 2,5 \cdot 200 \cdot R^2 \cdot \omega'$

Odtud zjistíme úhlovou rychlost kolotoče poté, co se lidé pohnou:

$\omega' = \frac{1}{5}\omega = \frac{1}{5}\cdot 2\pi = \frac{2\pi}{5}částka $/с.

Rychlost otáčení karuselu se rovná úhlové rychlosti dělené 2π:

$f = \frac{\omega'}{2\pi} = \frac{1}{5}$ ot/s.

Takže frekvence otáčení kolotoče po přesunutí všech lidí do jeho středu je 1/5 r/s a úhlová rychlost je 2π/5 rad/s.

***

1. Koupil jsem si stírací los Kyivstar 100 a okamžitě si dobil svůj telefonní účet. Velmi pohodlně!
2. Žádné problémy s aktivací Kyivstar Scratch card 100, vše proběhlo rychle a bez jakýchkoli potíží.
3. Kyivstar Scratch card 100 je skvělý dárek pro milovanou osobu, zvláště pokud využívá služeb Kyivstar.
4. Jsem rád, že mohu rychle a snadno dobít svůj účet pomocí stíracího losu Kyivstar Scratch Card 100.
5. Se stíracím losem Kyivstar 100 se už nemusím bát, že v tu nejnevhodnější chvíli dojdu z rovnováhy.
6. Koupil jsem si stírací kartu Kyivstar 100 a obdržel jsem bonusy na svůj telefonní účet. To je pěkný bonus!
7. Oceňuji rychlost a pohodlí, proto již několik let používám Kyivstar Scratch card 100.
8. Potřebuji velký výběr tarifů Kyivstar a možnost dobít si účet pomocí stíracích karet Kyivstar Scratch card 100.
9. S Kyivstar Scratch Card 100 mohu kontrolovat své výdaje a nepřeplácet zbytečné služby.
10. Kyivstar Scratch Card 100 doporučuji všem, kteří si váží svého času a chtějí rychle dobít svůj telefonní účet.