Στην άκρη ενός καρουζέλ σε σχήμα δίσκου βάρους 200 κιλών και

Στην άκρη του καρουζέλ βρίσκονται 5 άτομα, καθένα από τα οποία έχει μάζα 60 κιλά. Το καρουσέλ έχει τη μορφή δίσκου, βάρους 200 kg και ακτίνας 2 m, που περιστρέφεται με συχνότητα 1 στροφές/δευτερόλεπτο. Για να βρείτε τη συχνότητα περιστροφής και τη γωνιακή ταχύτητα του καρουζέλ, είναι απαραίτητο να μετακινήσετε όλα τα άτομα στο κέντρο σε απόσταση ίση με τη μισή ακτίνα. Σε αυτή την περίπτωση, οι άνθρωποι μπορούν να αναπαρασταθούν ως μάζες σημείου.

Για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ο νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής. Η γωνιακή ορμή ενός κλειστού συστήματος παραμένει σταθερή εάν δεν ασκείται από εξωτερικές ροπές δυνάμεων. Η μετακίνηση των ανθρώπων προς το κέντρο θα αλλάξει τη στιγμή αδράνειας του συστήματος, αλλά δεν θα αλλάξει τη στιγμή της παρόρμησης.

Αρχικά, η γωνιακή ορμή του συστήματος είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδράνειας και της γωνιακής ταχύτητας:

L = Iω

όπου L είναι η γωνιακή ορμή, I η ροπή αδράνειας, ω η γωνιακή ταχύτητα.

Η ροπή αδράνειας ενός καρουζέλ με 5 άτομα στην άκρη είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας κάθε ατόμου και τη ροπή αδράνειας του καρουζέλ χωρίς άτομα:

I1 = 5mr^2/2 + mr^2 = 15mr^2/2

όπου m είναι η μάζα ενός ατόμου, r είναι η ακτίνα του καρουζέλ.

Η στιγμή αδράνειας ενός καρουζέλ με άτομα που μετακινούνται προς το κέντρο μπορεί να βρεθεί με παρόμοιο τρόπο:

I2 = 5m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8

Έτσι, η γωνιακή ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή:

Ι1ω1 = Ι2ω2

όπου ω1 και ω2 είναι οι γωνιακές ταχύτητες του καρουζέλ πριν και μετά τη μετακίνηση των ανθρώπων.

Αντικαθιστώντας τις τιμές των ροπών αδράνειας και γωνιακής ταχύτητας, παίρνουμε:

15mr^2/2 * 2π = 5mr^2/8 * ω2

ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s - η γωνιακή ταχύτητα του καρουζέλ αφού οι άνθρωποι μετακινηθούν στο κέντρο.

Η συχνότητα περιστροφής του καρουζέλ μετά τη μετακίνηση ατόμων είναι:

f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2.4 Гц.

Ψηφιακό προϊόν: "Στην άκρη του καρουζέλ"

Το ψηφιακό προϊόν «On the Edge of the Carousel» είναι ένα εικονικό αξιοθέατο που θα σας επιτρέψει να νιώσετε την αδρεναλίνη και τη διασκέδαση χωρίς να βγείτε από το σπίτι σας! Θα βρεθείτε στην άκρη ενός καρουζέλ, που μοιάζει με δίσκο με μάζα 200 kg και ακτίνα 2 m, που περιστρέφεται με συχνότητα 1 rps. Πολύχρωμα φώτα, μουσική και κραυγές χαράς θα αναβοσβήσουν γύρω σας. Μπορείτε να νιώσετε σαν πραγματικός ήρωας, βρίσκοντας στην άκρη του καρουζέλ μαζί με άλλους συμμετέχοντες στην έλξη.

Αυτό το ψηφιακό προϊόν είναι κατάλληλο για τους λάτρεις των extreme sports και όσους θέλουν να ζήσουν κάτι νέο και συναρπαστικό. Είναι ένα εξαιρετικό δώρο για φίλους και συγγενείς που αγαπούν την αδρεναλίνη και τις ασυνήθιστες εμπειρίες.

Αγοράστε σήμερα το ψηφιακό προϊόν «Στην άκρη του καρουζέλ» και ζήστε μια αξέχαστη εμπειρία στο σπίτι!

Το πρόβλημα είναι να βρούμε την ταχύτητα περιστροφής και τη γωνιακή ταχύτητα ενός καρπούζι αφού πέντε άτομα, το καθένα με βάρος 60 κιλά, μετακινηθούν στο κέντρο του σε απόσταση ίση με τη μισή ακτίνα.

Για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ο νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής. Η γωνιακή ορμή ενός κλειστού συστήματος παραμένει σταθερή εάν δεν ασκείται από εξωτερικές ροπές δυνάμεων. Η μετακίνηση των ανθρώπων προς το κέντρο θα αλλάξει τη στιγμή αδράνειας του συστήματος, αλλά δεν θα αλλάξει τη στιγμή της παρόρμησης.

Αρχικά, η γωνιακή ορμή του συστήματος είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδράνειας και της γωνιακής ταχύτητας: L = Iω

Η ροπή αδράνειας ενός καρουζέλ με 5 άτομα στην άκρη είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας κάθε ατόμου και τη ροπή αδράνειας του καρουζέλ χωρίς άτομα:

I1 = 5mr^2/2 + mr^2 = 15mr^2/2

όπου m είναι η μάζα ενός ατόμου, r είναι η ακτίνα του καρουζέλ.

Η στιγμή αδράνειας ενός καρουζέλ με άτομα που μετακινούνται προς το κέντρο μπορεί να βρεθεί με παρόμοιο τρόπο:

I2 = 5m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8

Έτσι, η γωνιακή ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή:

Ι1ω1 = Ι2ω2

όπου ω1 και ω2 είναι οι γωνιακές ταχύτητες του καρουζέλ πριν και μετά τη μετακίνηση των ανθρώπων.

Αντικαθιστώντας τις τιμές των ροπών αδράνειας και γωνιακής ταχύτητας, παίρνουμε:

15mr^2/2 * 2π = 5mr^2/8 * ω2 ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s - η γωνιακή ταχύτητα του καρουζέλ αφού οι άνθρωποι μετακινηθούν στο κέντρο.

Η συχνότητα περιστροφής του καρουζέλ μετά τη μετακίνηση ατόμων είναι:

f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2.4 Гц.

Έτσι, αφού μετακινηθούν οι άνθρωποι στο κέντρο, η ταχύτητα περιστροφής του καρουζέλ σχεδόν θα διπλασιαστεί και η γωνιακή ταχύτητα θα αυξηθεί περισσότερο από πέντε φορές.

***

Δίνεται ένα καρουζέλ σε σχήμα δίσκου με μάζα 200 kg και ακτίνα 2 m, που περιστρέφεται με συχνότητα 1 στροφές/δευτερόλεπτο. Στην άκρη του καρουζέλ υπάρχουν πέντε άτομα βάρους 60 κιλών το καθένα. Για να βρείτε τη συχνότητα περιστροφής και τη γωνιακή ταχύτητα του καρουζέλ, εάν όλοι οι άνθρωποι μετακινούνται στο κέντρο του σε απόσταση ίση με το μισό της ακτίνας, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους νόμους διατήρησης της ορμής και της γωνιακής ορμής.

Αρχικά, ας βρούμε τη ροπή αδράνειας του καρουζέλ σε σχέση με το κέντρο του, η οποία ισούται με:

$I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 = 400$ kg·m²,

όπου m είναι η μάζα του καρουζέλ, R είναι η ακτίνα του.

Στη συνέχεια θα βρούμε τη στιγμή αδράνειας του συστήματος καρουζέλ και των ανθρώπων σε σχέση με το κέντρο του αφού όλοι οι άνθρωποι κινηθούν προς αυτό:

$I' = \sum_{i=1}^{5} m_i r_i^2 = m\left(\frac{R}{2}\right)^2 + m\left(\frac{R}{2} \right)^2 + mR^2 + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 = 2,5mR^2 $,

όπου m_i είναι η μάζα του i-ου προσώπου, r_i είναι η απόσταση από το κέντρο του καρουζέλ έως το i-ο άτομο.

Ο νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής δηλώνει ότι η γωνιακή ορμή ενός συστήματος παραμένει αμετάβλητη απουσία εξωτερικών ροπών:

$I\omega = I'\omega',

όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα του καρουζέλ πριν μετακινηθούν οι άνθρωποι, ω' είναι η γωνιακή ταχύτητα του καρουζέλ μετά την κίνηση των ανθρώπων.

Αντικαθιστώντας τις ευρεθείσες τιμές των ροπών αδράνειας, λαμβάνουμε:

$\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 \cdot \omega = 2,5 \cdot 200 \cdot R^2 \cdot \omega'$

Από εδώ βρίσκουμε τη γωνιακή ταχύτητα του καρουζέλ μετά την κίνηση των ανθρώπων:

$\omega' = \frac{1}{5}\omega = \frac{1}{5}\cdot 2\pi = \frac{2\pi}{5}$ ποσό/σ.

Η ταχύτητα περιστροφής του καρουζέλ είναι ίση με τη γωνιακή ταχύτητα διαιρούμενη με 2π:

$f = \frac{\omega'}{2\pi} = \frac{1}{5}$ στροφές/δευτ.

Έτσι, η συχνότητα περιστροφής του καρουζέλ μετά τη μετακίνηση όλων των ανθρώπων στο κέντρο του είναι 1/5 ​​r/s και η γωνιακή ταχύτητα είναι 2π/5 rad/s.

***

1. Αγόρασα ένα Kyivstar Scratch card 100 και πλήρωσα αμέσως τον λογαριασμό του τηλεφώνου μου. Πολύ άνετα!
2. Κανένα πρόβλημα με την ενεργοποίηση του Kyivstar Scratch card 100, όλα πήγαν γρήγορα και χωρίς καμία ταλαιπωρία.
3. Το Kyivstar Scratch card 100 είναι ένα υπέροχο δώρο για ένα αγαπημένο πρόσωπο, ειδικά αν χρησιμοποιεί υπηρεσίες Kyivstar.
4. Χαίρομαι που μπορώ γρήγορα και εύκολα να ανανεώσω τον λογαριασμό μου χρησιμοποιώντας το Kyivstar Scratch Card 100.
5. Με το Kyivstar Scratch Card 100, δεν ανησυχώ πλέον μήπως ξεμείνω από ισορροπία την πιο ακατάλληλη στιγμή.
6. Αγόρασα ένα Kyivstar Scratch card 100 και έλαβα μπόνους στον λογαριασμό του τηλεφώνου μου. Αυτό είναι ένα ωραίο μπόνους!
7. Εκτιμώ την ταχύτητα και την ευκολία, γι' αυτό χρησιμοποιώ το Kyivstar Scratch card 100 εδώ και αρκετά χρόνια.
8. Μια μεγάλη ποικιλία από τιμολόγια Kyivstar και η δυνατότητα ανανέωσης του λογαριασμού σας χρησιμοποιώντας το Kyivstar Scratch card 100 είναι αυτό που χρειάζομαι.
9. Με το Kyivstar Scratch Card 100 μπορώ να ελέγξω τα έξοδά μου και να μην πληρώνω υπερβολικά για περιττές υπηρεσίες.
10. Συνιστώ το Kyivstar Scratch Card 100 σε όλους όσους εκτιμούν τον χρόνο τους και θέλουν να ανανεώσουν γρήγορα τον λογαριασμό του τηλεφώνου τους.