IDZ 6.4 – Opzione 13. Soluzioni Ryabushko A.P.

1. Attività di soluzione 1.13:

   Dato: il costo del trasporto ferroviario di merci per 1 km (AB) - k1 p., su strada (PC) - k2 p. (k12); |AB| = a, |BC| = b.

   Dobbiamo trovare un luogo P dove iniziare a costruire un'autostrada in modo che la consegna del carico dal punto A al punto C possa essere effettuata in modo più economico.

   Risposta:

   Sia x la distanza dal punto P al punto B.

   Quindi la distanza dal punto P al punto A sarà uguale a a - x e la distanza dal punto P al punto C sarà uguale a b + x.

   Pertanto, il costo per la consegna della merce dal punto A al punto C passando per il punto P sarà:

   k1 (a - x) + k2 (b + x) = (k1 a + k2 b) + (k2 - k1) x.

   Questa funzione è una parabola con il vertice nel punto x = (k2 b - k1 a) / (k1 + k2).

   Se x è compreso nell'intervallo [0, a], la consegna sarà più economica se x = 0, ovvero il punto P è nel punto A, se x = a, ovvero il punto P è nel punto B.

   Se x è compreso nell'intervallo [-b, 0], la spedizione sarà più economica se x = 0, ovvero il punto P si trova nel punto C.

   Se x è compreso nell'intervallo [a, b], la spedizione sarà più economica se x = (k2 b - k1 a) / (k1 + k2).

2. Attività di soluzione 2.13:

   Conosci: y = (x2 - x - 1) / (x2 - 2x).

   Dobbiamo trovare una soluzione generale (integrale generale) dell'equazione differenziale.

   Risposta:

   Dividiamo il numeratore per il denominatore e otteniamo:

   y = 1 + (x - 1) / (x2 - 2x).

   Scomponiamo la frazione in frazioni più semplici:

   (x - 1) / (x2 - 2x) = A / (x - 2) + B / x.

   Risolvendo il sistema di equazioni, otteniamo A = 1 e B = 1:

   y = 1 + 1 / (x - 2) + 1 / x.

   La soluzione generale dell’equazione differenziale sarà:

   y = C + ln|x - 2| +ln|x| = C + ln|x (x - 2)|, dove C è una costante arbitraria.

3. Attività di soluzione 3.13:

   Dato: y = (x + 2)e1-x.

   È necessario condurre uno studio completo della funzione e costruire il suo grafico.

   Risposta:

   Troviamo le derivate della funzione:

   y' = (1 - x) e1-x, y'' = (x - 2) e1-x.

   Punti di intersezione dell'asse OX:

   (x + 2) e1-x = 0, x = -2.

   Punti di intersezione dell'asse OY:

   y(0) =2, poiché y = (0 + 2) e1-0 = 2.

   Comportamento della funzione in prossimità del punto x = -2:

   Per x < -2 la funzione y aumenta; per x > -2 la funzione y diminuisce. Il punto x = -2 è il punto di massimo locale della funzione.

   Comportamento della funzione in prossimità del punto x = 0:

   Per x < 0 la funzione y diminuisce; per x > 0 la funzione y aumenta. Il punto x = 0 è il punto di minimo globale della funzione.

   Asintoti:

   Asintoto orizzontale: y = 0, poiché lim x→+∞ (x + 2) e1-x = 0.

   Asintoto obliquo: y = x + 2, poiché lim x→-∞ (y - (x + 2)) = lim x→-∞ (x + 2) e1-x = -∞, e lim x→+∞ ( y - (x + 2)) / x = lim x→+∞ e1-x = 0.

   Grafico della funzione:

4. Attività di soluzione 4.13:

   Si spera: y = (x - 1) e-x, [0; 3].

   Dobbiamo trovare il valore più piccolo e quello più grande della funzione y=f(x) sul segmento [a; B].

   Risposta:

   Calcoliamo le derivate della funzione:

   y' = -x e-x + e-x, y'' = x e-x - 2 e-x.

   Punti di intersezione dell'asse OX:

   (x - 1) e-x = 0, x = 1.

   Punti di intersezione dell'asse OY:

   y(0) = 1 - e0 = 0, poiché e0 = 1.

   Comportamento della funzione in prossimità del punto x = 1:

   Per x < 1 la funzione y diminuisce; per x > 1 la funzione y aumenta. Il punto x = 1 è il punto di minimo locale della funzione.

   Sul segmento [0; 3] il valore più piccolo della funzione si ottiene nel punto x = 3 e il valore più grande nel punto x = 1.

   Valore minimo della funzione:

   y(3) = -2 e-3 ≈ 0,0498.

   Valore massimo della funzione:

   y(1) = 0.

Questo prodotto digitale è una raccolta di soluzioni a problemi di matematica chiamata “IDZ 6.4 – Opzione 13. Soluzioni di A.P. Ryabushko”. Contiene soluzioni dettagliate e chiare a problemi su vari argomenti di matematica, che possono essere utili per studenti, scolari e chiunque sia interessato alla matematica.

Il design di questo prodotto digitale è realizzato in un formato HTML bello e conveniente, che rende facile trovare le informazioni necessarie e leggere comodamente il testo. Questo prodotto può essere utile sia per il lavoro indipendente che per la preparazione a esami, prove e olimpiadi. Inoltre, può essere utilizzato come materiale supplementare per educatori e insegnanti per aiutare gli studenti a comprendere meglio i concetti di matematica e migliorare il loro rendimento scolastico.

Prodotto digitale "IDZ 6.4 – Opzione 13. Soluzioni di Ryabushko A.P." è una raccolta di soluzioni a problemi di matematica, che contiene soluzioni dettagliate e comprensibili su vari argomenti di matematica. Contiene soluzioni ai problemi:

1.13 - il problema di trovare un luogo P dove è necessario iniziare la costruzione di un'autostrada viene risolto in modo che la consegna del carico dal punto A a C sia possibile più economica. La soluzione utilizza una formula per trovare il punto estremo locale di una funzione.

2.13 - il problema di trovare una soluzione generale a un'equazione differenziale è risolto. La soluzione utilizza il metodo della scomposizione in frazioni semplici.

3.13 - il problema dello studio completo della funzione e della costruzione del suo grafico è risolto. La soluzione contiene le derivate della funzione, determina i punti di intersezione degli assi, determina il comportamento della funzione in prossimità dei punti estremi locali, trova gli asintoti e traccia il grafico della funzione.

4.13 - il problema di trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento è risolto. La soluzione utilizza il metodo per trovare i punti estremi locali di una funzione e determinare i valori della funzione alle estremità del segmento.

La raccolta è progettata in un formato HTML bello e conveniente, che rende facile trovare le informazioni necessarie e comodo leggere il testo. Le soluzioni ai problemi vengono preparate in Microsoft Word 2003 utilizzando l'editor di formule. Questo prodotto può essere utile sia per il lavoro indipendente che per la preparazione a esami, prove e olimpiadi. Inoltre, può essere utilizzato come materiale supplementare per educatori e insegnanti per aiutare gli studenti a comprendere meglio i concetti di matematica e migliorare il loro rendimento scolastico.

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IDZ 6.4 – Opzione 13. Soluzioni Ryabushko A.P. è un insieme di soluzioni a problemi di vari campi della matematica, realizzate dall'autore Ryabushko A.P. La descrizione del prodotto indica che questa serie di problemi contiene problemi di analisi matematica e teoria della probabilità. Il set comprende compiti sulla determinazione del costo del trasporto ferroviario e stradale di merci, sulla ricerca di una soluzione generale a un'equazione differenziale, sullo studio completo delle funzioni specificate e sulla ricerca dei valori più piccoli e più grandi della funzione su un dato segmento. Tutte le soluzioni sono state realizzate in Microsoft Word 2003 utilizzando l'editor di formule.

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