IDZ 6.4 – 选项 13。解决方案 Ryabushko A.P.

1. 解决任务1.13：

   已知：铁路每公里货物运输成本 (AB) - k1 p.，公路运输成本 (PC) - k2 p. (k1 2); |AB| = a, |BC| = b.

   我们需要找到一个地方P，在那里我们需要开始修建高速公路，以便可以更便宜地从A点运送货物到C点。

   回答：

   设P点到B点的距离为x。

   那么从 P 点到 A 点的距离将等于 a - x，从 P 点到 C 点的距离将等于 b + x。

   因此，将货物从 A 点经 P 点运送到 C 点的成本为：

   k1 (a - x) + k2 (b + x) = (k1 a + k2 b) + (k2 - k1) x。

   该函数是一条抛物线，其顶点位于点 x = (k2 b - k1 a) / (k1 + k2)。

   如果x在[0, a]范围内，那么如果x = 0，即P点在A点，则交付会更便宜，如果x = a，即P点在B点。

   如果x在[-b,0]范围内，那么如果x = 0，即P点在C点，运费会更便宜。

   如果 x 在 [a, b] 范围内，则如果 x = (k2 b - k1 a) / (k1 + k2)，运费会更便宜。

2. 解决任务2.13：

   知道：y = (x2 - x - 1) / (x2 - 2x)。

   我们需要找到微分方程的通解（通积分）。

   回答：

   让我们用分子除以分母并得到：

   y = 1 + (x - 1) / (x2 - 2x)。

   让我们将分数分解为更简单的分数：

   (x - 1) / (x2 - 2x) = A / (x - 2) + B / x。

   求解方程组，我们得到 A = 1 和 B = 1：

   y = 1 + 1 / (x - 2) + 1 / x。

   微分方程的通解为：

   y = C + ln|x - 2| +ln|x| = C + ln|x (x - 2)|，其中 C 是任意常数。

3. 解决任务3.13：

   给定：y = (x + 2)e1-x。

   有必要对该函数进行完整的研究并构建其图形。

   回答：

   我们来求该函数的导数：

   y' = (1 - x) e1-x，y'' = (x - 2) e1-x。

   OX轴交点：

   (x + 2) e1-x = 0, x = -2。

   OY轴交点：

   y(0) =2，因为 y = (0 + 2) e1-0 = 2。

   函数在点 x = -2 附近的行为：

   当 x < -2 时，y 函数增大；当 x > -2 时，y 函数减小。点 x = -2 是函数的局部极大点。

   函数在点 x = 0 附近的行为：

   当 x < 0 时，函数 y 减小；当 x > 0 时，函数 y 增大。 x = 0 点是函数的全局最小点。

   渐近线：

   水平渐近线：y = 0，因为 lim x→+Infini (x + 2) e1-x = 0。

   斜渐近线：y = x + 2，因为 lim x→-∞ (y - (x + 2)) = lim x→-∞ (x + 2) e1-x = -∞，且 lim x→+∞ ( y - (x + 2)) / x = lim x→+∞ e1-x = 0。

   函数图：

4. 解决任务4.13：

   希望： y = (x - 1) e-x, [0; 3]。

   我们需要找到函数y=f(x)在线段[a;上的最小值和最大值。 b]。

   回答：

   我们来计算函数的导数：

   y' = -x e-x + e-x，y'' = x e-x - 2 e-x。

   OX轴交点：

   (x - 1) e-x = 0, x = 1。

   OY轴交点：

   y(0) = 1 - e0 = 0，因为 e0 = 1。

   函数在点 x = 1 附近的行为：

   当 x < 1 时，函数 y 减小；当 x > 1 时，函数 y 增大。 x = 1 点是函数的局部极小值点。

   在段 [0; 3]函数的最小值出现在点x=3处，最大值出现在点x=1处。

   最小函数值：

   y(3) = -2 e-3 ≈ 0.0498。

   最大函数值：

   y(1) = 0。

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1.13 - 寻找需要开始修建高速公路的地点 P 的问题正在解决，以便从 A 点到 C 点的货物运输可能更便宜。该解决方案使用公式来查找函数的局部极值点。

2.13 - 求微分方程通解的问题得到解决。该解采用分解为简单分数的方法。

3.13 - 充分研究函数并构建其图的问题得到解决。该解包含函数的导数，确定轴的交点，确定函数在局部极值点附近的行为，找到渐近线并绘制函数的图形。

4.13 - 找到给定线段上函数的最小值和最大值的问题得到解决。解决方案采用寻找函数局部极值点并确定线段末端函数值的方法。

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