IDZ Ryabushko 4.2 Opzione 7

N. 1. È necessario costruire superfici e determinare il loro tipo per le equazioni:

a) 4x2 + 6y2 – 24z2 = 96; á) y2 + 8z2 = 20x2.

Per prima cosa, facciamo una serie di trasformazioni. Per l'equazione (a), dividi entrambi i membri per 96 e ottieni:

(x^2) / 6 + (y^2) / 16 - (z^2) / 4 = 1

Otteniamo così l'equazione di un ellissoide il cui centro è nell'origine.

Anche per l'equazione (b) è necessario effettuare alcune trasformazioni. Dividi entrambi i membri per 20 e ottieni:

(y^2) / 20 + (z^2) / 2 = (x^2)

Pertanto, otteniamo l'equazione di un cilindro parabolico, la cui base è una parabola diretta lungo l'asse x e l'altezza è 2√5.

N. 2. È necessario scrivere l'equazione e determinare il tipo di superficie ottenuta ruotando questa linea attorno all'asse delle coordinate specificato e disegnare l'immagine corrispondente.

a) x^2 + 3z^2 = 9; Oz;

Innanzitutto, determiniamo il tipo di linea data dall'equazione. Per z = 0 si ottiene x^2 = 9, ovvero è una linea orizzontale passante per i punti (-3, 0, 0) e (3, 0, 0). A x = 0 otteniamo 3z^2 = 9, cioè questa è una linea verticale che passa per i punti (0, 0, -3) e (0, 0, 3). Pertanto, la linea è un'ellisse situata nel piano xz.

Per ottenere una superficie è necessario ruotare questa ellisse attorno all'asse di Oz. La superficie risultante è un ellissoide, il cui centro è nell'origine, gli assi coincidono con gli assi delle coordinate e i semiassi sono uguali a 3 e √3.

á) x = 4; z = 6; Ehi.

Innanzitutto, determiniamo il tipo di linea data dall'equazione. L'equazione x = 4 definisce un piano verticale parallelo all'asse y e passante per il punto (4, 0, 0). L'equazione z = 6 definisce un piano orizzontale parallelo al piano xz e passante per il punto (0, 0, 6). Pertanto, la linea è un segmento retto che passa per i punti (4, 0, 6) e (4, 0, -6).

Per ottenere una superficie è necessario ruotare questo segmento attorno all'asse Oy. La superficie risultante è un cilindro la cui base è un cerchio di raggio 6 e centro nel punto (4, 0, 0), e la cui altezza è 12.

Numero 3. È necessario costruire un corpo delimitato dalle superfici specificate:

a) y = x; y = 0; x = 1; ...; z = 0.

Innanzitutto, costruiamo i piani definiti dalle equazioni y = xey = 0. Questa intersezione di questi piani ci dà una linea che passa per i punti (0, 0, 0) e (1, 1, 0). Costruiamo quindi i piani x = 1 e z = 0, che formano un rettangolo con vertici (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) e (1, 0, 1) . Otteniamo così un corpo limitato dalle superfici indicate, che è una piramide a base triangolare e altezza 1.

á) x^2 + y^2 + z^2 = 4; x^2 + y^2 = z^2; x≥ 0; z ≥ 0.

Innanzitutto, costruiamo le superfici date dalle equazioni x^2 + y^2 + z^2 = 4 e x^2 + y^2 = z^2. L'equazione x^2 + y^2 + z^2 = 4 descrive una sfera di raggio 2, mentre l'equazione x^2 + y^2 = z^2 descrive un cono con il vertice nell'origine e l'asse coincidente con l'asse z.

Per costruire un corpo delimitato da queste superfici, consideriamo una regione delimitata da una sfera e da un cono, oltre che dai piani x = 0 e z = 0. Otteniamo così un corpo delimitato da queste superfici, che rappresenta la metà di un sfera e mezzo cono situati nel primo ottante.

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IDZ Ryabushko 4.2 Opzione 7 è un compito di matematica che contiene tre diversi compiti:

1. È necessario costruire superfici e determinarne l'aspetto utilizzando le equazioni fornite: a) 4x2 + 6y2 – 24z2 = 96; b) y2 + 8z2 = 20x2.

2. È necessario scrivere l'equazione e determinare il tipo di superficie ottenuta ruotando questa linea attorno all'asse delle coordinate specificato, nonché realizzare un disegno: a) x2 + 3z2 = 9; asse di rotazione Oz; b) x = 4; z = 6; asse di rotazione Oy.

3. È necessario costruire un corpo delimitato dalle superfici specificate: a) y = x; y = 0; x = 1; ...; z = 0; b) x2 + y2 + z2 = 4; x2 + y2 = z2; x≥ 0; z ≥ 0.

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