Solution du problème D3 (tâche 1) Option 04 Dievsky V.A.

Termeh Dievsky V.A. propose de résoudre le problème Dynamique 3 (D3) tâche 1, associé au théorème sur la variation de l'énergie cinétique, pour les systèmes mécaniques représentés dans les schémas 1-30. Pour le corps 1, il faut déterminer l'accélération angulaire (options 4, 6, 7, 9, 11, 18, 25, 26, 28) ou l'accélération linéaire (autres options) à l'aide du théorème de variation de l'énergie cinétique en différentiel formulaire. Dans ce cas, les fils sont considérés comme légers et inextensibles. Les notations suivantes sont acceptées dans la mission : m - masse du corps, R et r - rayons, p - rayon d'inertie (s'il n'est pas précisé, le corps est considéré comme un cylindre homogène) ; en présence de frottement, f est le coefficient de frottement de glissement, fк est le coefficient de frottement de roulement.

Pour résoudre la tâche 1 du problème D3 associé au schéma n°4, il faut utiliser le théorème sur la variation de l'énergie cinétique sous forme différentielle et déterminer l'accélération angulaire du corps 1. D'après la condition, le corps 1 est un cylindre homogène de masse m1 et de rayon R. Le corps est associé à un fil en apesanteur et inextensible enroulé autour d'un cylindre de rayon r et de masse m2. Le fil s'enroule sur le cylindre sans glisser avec un coefficient de frottement de roulement fк.

Premièrement, il est nécessaire d’enregistrer l’énergie cinétique du système à l’instant initial (lorsque le corps 1 est au sommet) et à un instant arbitraire t. L'énergie cinétique du système à l'instant initial est nulle, puisque le corps 1 est au repos. À un instant arbitraire t, l’énergie cinétique du système peut s’écrire comme suit :

T = 1/2t1V1^2 + 1/2t2V2 ^ 2 + 1/2Jew^2,

où V1 et V2 sont respectivement les vitesses linéaires des corps 1 et 2, w est la vitesse angulaire du corps 1, Je est le moment d'inertie du corps 1 par rapport à l'axe de rotation (axe du filetage), déterminé par le formule Je = 1/2t1R^2.

Selon le théorème sur la variation de l'énergie cinétique sous forme différentielle, la différence entre l'énergie cinétique du système à un instant arbitraire t et à l'instant initial est égale au travail de toutes les forces agissant sur le système pendant cette période de temps :

ΔT = A,

où A est le travail de toutes les forces agissant sur le système. Le travail effectué par la force de frottement de glissement est fNs, où N est la force de tension du fil, s est le chemin parcouru par le point de contact du corps 2 avec la surface du cylindre. La force de tension du fil est égale à la force de gravité du corps 1, puisque le fil est en apesanteur et inextensible. Ainsi, le travail effectué par la force de frottement de glissement peut s’écrire sous la forme suivante :

Aф = ft1g*(R-r)*sinθ,

où g est l'accélération de la gravité, θ est l'angle selon lequel le corps 1 a tourné au temps t.

Le travail effectué par la force de frottement de roulement est fкNs, où s est le chemin parcouru par le point de contact du corps 2 avec la surface du cylindre. La force de tension du fil dans ce cas n'est pas égale à la force de gravité du corps 1, puisque le fil s'enroule sur le cylindre sans glisser. Pour déterminer la force de tension, il faut utiliser la condition de non-glissement :

(R-r)w = Vs,

où Vs est la vitesse linéaire du point de contact du corps 2 avec la surface du cylindre.

La force de tension du fil peut s’écrire comme suit :

N = t1g-t2g - fкt2(R-r)/r.

Ainsi, le travail effectué par la force de frottement de roulement peut s’écrire sous la forme suivante :

Afk = fkt2g*(R-r)*sinθ.

La différence entre l’énergie cinétique du système à un instant arbitraire t et à l’instant initial peut maintenant s’écrire sous la forme suivante :

ΔT = 1/2t1V1^2 + 1/2t2V2 ^ 2 + 1/2Iw^2 - Af - Afk.

Du théorème sur la variation de l'énergie cinétique sous forme différentielle, il s'ensuit que la différence entre l'énergie cinétique du système à un instant arbitraire t et à l'instant initial est égale à la variation de l'énergie cinétique du système sur cette période de temps. L’évolution de l’énergie cinétique du système sur une période de temps dt peut s’écrire comme suit :

dT = 1/2t1dV1^2 + 1/2t2dV2^2 + 1/2Idw^2 - Aфdt - Aфкdt.

L'accélération angulaire du corps 1 peut être déterminée à partir de l'équation du mouvement du corps 2. L'équation du mouvement du corps 2 peut s'écrire sous la forme suivante :

t2a2 = t2g - N - fк*t2.

En considérant que a2 = r*d^2θ/dt^2, on obtient l'expression suivante pour l'accélération angulaire du corps 1 :

w'' = gsinθ/(R-r) - ft2gsinθ/(R-r) - fкt2avec,

où w'' est l'accélération angulaire du corps 1.

Ainsi, pour résoudre la tâche 1 du problème D3, schéma n°4, il est nécessaire d'utiliser des formules pour déterminer le travail des forces de frottement de glissement et de roulement, ainsi que l'équation du mouvement du corps 2 pour déterminer l'accélération angulaire du corps 1. Il est important de prendre en compte les différences dans les conditions des problèmes pour les différentes options.

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Ce produit est une solution à la tâche 1 du problème Dynamique 3 (D3) en mécanique théorique, option 4, diagramme 4. La tâche consiste à déterminer l'accélération angulaire du corps 1 pour le système mécanique représenté dans le diagramme, en utilisant le théorème sur le changement d'énergie cinétique sous forme différentielle. La description indique les désignations acceptées, telles que les masses corporelles, les rayons et le rayon de giration, ainsi que les coefficients de frottement. La solution à la mission est réalisée au format Word (manuscrite ou tapée dans Word) et conditionnée dans une archive zip, qui sera disponible après paiement. La solution est destinée aux étudiants universitaires et convient à une utilisation à des fins éducatives. Après avoir vérifié la solution, l'auteur vous sera reconnaissant si vous laissez des commentaires positifs.

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