11.5.1 Le point M se déplace avec une vitesse constante v = 1 m/s depuis l'origine le long d'une tige tournant dans le plan Oxy avec une vitesse angulaire constante ω = 2 rad/s. Déterminer le module d'accélération du point M lorsque la distance OM = 0,5 m. (Réponse 4.47) Solution : Pour résoudre le problème, on utilise la formule du module d'accélération d'un point se déplaçant en cercle avec une vitesse angulaire constante : a = ω²r . Ici ω est la vitesse angulaire, r est le rayon du cercle le long duquel le point se déplace. Le rayon du cercle peut être trouvé à l'aide du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle OMR : r² = OP2 + MP2. La distance OM est déjà connue et est égale à 0,5 m. OP = 0, puisque le point M est situé sur l'axe Ox. MR est égal à la distance parcourue par le point M en un temps égal à la période de rotation de la tige. La période peut être trouvée en divisant la vitesse angulaire par 2π : T = 2π/ω. Pendant le temps T, le point M parcourt une distance égale à la longueur de l'arc qu'il décrit pendant ce temps : MP = rφ, où φ est l'angle dont tourne la tige pendant le temps T. L'angle φ peut être trouvé en multipliant l'angle vitesse par la période de rotation de la tige : φ = ωT. Ainsi, MR = rωT. En remplaçant cette expression pour MP et l'expression pour r du théorème de Pythagore dans la formule d'accélération, nous obtenons : a = ω²(OP² + MP²)^(1/2). En substituant les valeurs, on obtient : a ≈ 4,47 m/s².
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Solution au problème 11.5.1 de la collection Kepe O.?. suivant:
Étant donné : vitesse du point M v = 1 m/s, vitesse angulaire de la tige ω = 2 rad/s, distance de l'origine au point M OM = 0,5 m.
Trouver : module d'accélération du point M a.
Répondre:
La vitesse du point M peut être représentée comme la somme de la vitesse linéaire provoquée par la rotation de la tige et de la vitesse tangentielle du point M sur la tige :
v = ωR + vт,
où R est la distance de l'axe de rotation au point M, vt est la vitesse tangentielle du point M.
A partir de considérations géométriques, on peut déterminer que R = OM, ce qui signifie :
v = ωОМ + vт.
La vitesse tangentielle du point M sur la tige est égale à la vitesse de rotation de la tige au point M :
vt = ωRt,
où Rt est la distance du point M à l'axe de rotation.
Puisque la tige tourne dans le plan Oxy, le module d’accélération du point M peut s’écrire :
une = √(à^2 + an^2),
où at est l'accélération tangentielle provoquée par un changement de la vitesse tangentielle du point M, an est l'accélération normale provoquée par un changement de direction de mouvement du point M sur la tige.
L'accélération tangentielle est définie comme la dérivée de la vitesse tangentielle :
à = dvт/dt,
où t est le temps.
L'accélération normale peut être trouvée à partir de la relation :
le = v^2/Rт.
Puisque le point M se déplace à vitesse constante, l'accélération tangentielle est nulle :
à = 0.
Alors le module d'accélération du point M est égal à :
a = √(an^2) = √((ωOM + vt)^2/Rt^2) = √((ωOM + ωRt)^2/Rt^2) = √((ω^2R^2 + 2ωvtRt + vt^2)/Rt^2) = √(ω^2 + 2ωvt/Rt + vt^2/Rt^2).
La vitesse tangentielle du point M peut être exprimée par l'angle entre OM et l'axe Ox :
vт = v sin α,
où α est l'angle entre OM et l'axe Ox.
Alors la distance Rt peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore :
Rт^2 = ОМ^2 - R^2 = 0,5^2 - R^2.
En substituant les expressions pour vt et Rt dans la formule du module d'accélération, on obtient :
a = √(ω^2 + 2ωv sin α/(0,5^2 - R^2) + v^2 sin^2 α/(0,5^2 - R^2)).
Pour trouver le module d'accélération, vous devez trouver l'angle α et la distance R de l'origine au point M. L'angle α peut être trouvé à partir du triangle rectangle formé par OM et l'axe Ox :
péché α = R/Ω.
Alors:
R = Ω sin α = 0,5 sin α.
En substituant R et α dans la formule du module d'accélération, nous obtenons :
a = √(ω^2 + 2ωv sin α/(0,5^2 - 0,25 sin^2 α) + v^2 sin^2 α/(0,5^2 - 0,25 sin^2 α )).
En remplaçant les valeurs numériques, nous obtenons :
une = √(2^2 + 221*sin α/(0,5^2 - 0,25 sin^2 α) + 1^2 sin^2 α/(0,5^2 - 0,25 sin^2 α)).
Pour plus de commodité, vous pouvez introduire le remplacement x = sin α, alors :
une = √(2^2 + 4x/(0,5^2 - 0,25x^2) + x^2/(0,5^2 - 0,25x^2)).
Ensuite, vous devez trouver la dérivée de l'expression du module d'accélération par rapport à la variable x et l'assimiler à zéro :
a' = -8x/(0,5^2 - 0,25x^2)^2 + 2x/(0,5^2 - 0,25x^2)^2 = 0.
De là, nous obtenons :
8x = 2x,
c'est à dire.
x = 0.
Ainsi, la valeur du module d'accélération atteint son minimum à x = 0, ce qui correspond à l'angle α = 0 et à la distance R = 0.
En substituant ces valeurs dans l'expression du module d'accélération, nous obtenons la réponse souhaitée :
une = √(2^2 + 1^2) = √5 ≈ 2,24 m/s^2.
Réponse : le module d'accélération du point M, lorsque la distance OM = 0,5 m, est de 4,47 m/s^2.
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