IDZ Ryabushko 3.1 Option 14

№1

Étant donné quatre points A1(3;5;4); A2(8;7;4); A3(5;10;4); A4(4;7;8). Composez des équations :

1. Avions A1A2A3 ;
2. Direct A1A2 ;
3. Droite A4M, perpendiculaire au plan A1A2A3 ;
4. Ligne A3N parallèle à la ligne A1A2 ;
5. Un plan passant par le point A4, perpendiculaire à la droite A1 A2 ;
6. Sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ;
7. Cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3.

Répondre:

1. Vecteurs reliant les points A1, A2 et A3 :

   A1A2(5;2;0); A2A3(-3;3;0); A3A1(-2;-5;0).

   Produit vectoriel des vecteurs A1A2 et A2A3 :

   n(6;15;15).

   Équation d'un plan passant par les points A1, A2 et A3 :

   6x + 15y + 15z - 105 = 0.

2. Points de connexion vectoriels A1 et A2 :

   A1A2(5;2;0).

   Équation d'une droite passant par les points A1 et A2 :

   x = 3 + 5t, y = 5 + 2t, z = 4.

3. Points de connexion vectoriels A4 et M :

   A4M(-2;12;-5).

   Vecteur normal du plan A1A2A3 :

   n(6;15;15).

   Équation d'une droite passant par le point A4 et perpendiculaire au plan A1A2A3 :

   x = 4 - 2t, y = 7 + 3t, ​​z = 8 - t.

4. Vecteur parallèle à la droite A1A2 :

   A1A2(5;2;0).

   Équation d'une droite passant par le point A3 et parallèle à la droite A1A2 :

   x = 5t, y = 10 + 2t, z = 4.

5. Vecteur parallèle à la droite A1A2 :

   A1A2(5;2;0).

   Équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 :

   5x + 2y - 15z + 34 = 0.

6. Points de connexion vectoriels A1 et A4 :

   A1A4(1;2;-4).

   Vecteur normal du plan A1A2A3 :

   n(6;15;15).

   Sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 :

   sinα(A1A4, n) / (|A1A4| * |n|) = (6 - 30 + 60) / (√21 * √450) ≈ 0,413.

7. Vecteur normal du plan A1A2A3 :

   n(6;15;15).

   Cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3 :

   cosα = (n, k) / (|n| * |k|) = (6 + 0 + 0) / (√450) ≈ 0,267.

№2

Écrivez une équation pour un plan passant par les points A(3;–1;2) et B(2;1;4) parallèles au vecteur a = (5;–2;–1).

Répondre:

Vecteur AB(-1;2;2).

Le vecteur normal du plan recherché doit être parallèle au vecteur a, donc :

n(5;-2;-1).

Équation plane :

5(x - 3) - 2(y + 1) - (z - 2) = 0.

№3

Écrivez une équation pour une droite passant par le point M(2;–5;3), parallèle à la droite 2x – y + 3z – 1 = 0 et 5x + 4y – z – 7 = 0.

Répondre:

Un vecteur parallèle à la droite 2x – y + 3z – 1 = 0 a pour coordonnées :

une1(2;3;1).

Un vecteur parallèle à la droite 5x + 4y – z – 7 = 0 a pour coordonnées :

a2(4;-5;17).

Produit vectoriel des vecteurs a1 et a2 :

n(53;33;-22).

Équation d'une droite :

x = 2 + 53t, y = -5 + 33t, z = 3 - 22t.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 14

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