IDZ Ryabushko 3.1 Opção 14

№1

Dados quatro pontos A1(3;5;4); A2(8;7;4); A3(5;10;4); A4(4;7;8). Faça equações:

1. Aviões A1A2A3;
2. Direto A1A2;
3. Reta A4M, perpendicular ao plano A1A2A3;
4. Linha A3N paralela à linha A1A2;
5. Um plano que passa pelo ponto A4, perpendicular à linha reta A1 A2;
6. Seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3;
7. Cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

Responder:

1. Vetores conectando os pontos A1, A2 e A3:

   A1A2(5;2;0); A2A3(-3;3;0); A3A1(-2; -5;0).

   Produto vetorial dos vetores A1A2 e A2A3:

   n(6;15;15).

   Equação de um plano passando pelos pontos A1, A2 e A3:

   6x + 15y + 15z - 105 = 0.

2. Pontos de conexão vetorial A1 e A2:

   A1A2(5;2;0).

   Equação de uma reta que passa pelos pontos A1 e A2:

   x = 3 + 5t, y = 5 + 2t, z = 4.

3. Pontos de conexão vetorial A4 e M:

   A4M(-2;12;-5).

   Vetor normal do plano A1A2A3:

   n(6;15;15).

   Equação de uma reta que passa pelo ponto A4 e é perpendicular ao plano A1A2A3:

   x = 4 - 2t, y = 7 + 3t, ​​z = 8 - t.

4. Vetor paralelo à reta A1A2:

   A1A2(5;2;0).

   Equação de uma reta que passa pelo ponto A3 e paralela à reta A1A2:

   x = 5t, y = 10 + 2t, z = 4.

5. Vetor paralelo à reta A1A2:

   A1A2(5;2;0).

   Equação de um plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à linha A1A2:

   5x + 2y - 15z + 34 = 0.

6. Pontos de conexão vetorial A1 e A4:

   A1A4(1;2;-4).

   Vetor normal do plano A1A2A3:

   n(6;15;15).

   Seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3:

   sinα(A1A4, n) / (|A1A4| * |n|) = (6 - 30 + 60) / (√21 * √450) ≈ 0,413.

7. Vetor normal do plano A1A2A3:

   n(6;15;15).

   Cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3:

   cosα = (n, k) / (|n| * |k|) = (6 + 0 + 0) / (√450) ≈ 0,267.

№2

Escreva uma equação para um plano que passa pelos pontos A(3;–1;2) e B(2;1;4) paralelo ao vetor a = (5;–2;–1).

Responder:

Vetor AB(-1;2;2).

O vetor normal do plano desejado deve ser paralelo ao vetor a, portanto:

n(5;-2;-1).

Equação plana:

5(x - 3) - 2(y + 1) - (z - 2) = 0.

№3

Escreva uma equação para uma reta que passa pelo ponto M(2;–5;3), paralela à reta 2x – y + 3z – 1 = 0 e 5x + 4y – z – 7 = 0.

Responder:

Um vetor paralelo à reta 2x – y + 3z – 1 = 0 tem coordenadas:

a1(2;3;1).

Um vetor paralelo à reta 5x + 4y – z – 7 = 0 tem coordenadas:

a2(4;-5;17).

Produto vetorial dos vetores a1 e a2:

n(53;33;-22).

Equação de uma linha reta:

x = 2 + 53t, y = -5 + 33t, z = 3 - 22t.

IDZ Ryabushko 3.1 Opção 14

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