IDZ Ryabushko 3.1 选项 14

№1

给定四个点 A1(3;5;4); A2(8;7;4); A3(5;10;4); A4(4;7;8)。建立方程：

1. 飞机 A1A2A3；
2. 直接A1A2；
3. 直线A4M，垂直于平面A1A2A3；
4. 线A3N与线A1A2平行；
5. 通过点A4，垂直于直线A1 A2的平面；
6. 直线A1A4与平面A1A2A3之间夹角的正弦；
7. 坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 之间的角度的余弦。

回答：

1. 连接点 A1、A2 和 A3 的向量：

   A1A2(5;2;0); A2A3(-3;3;0); A3A1(-2;-5;0)。

   向量 A1A2 和 A2A3 的向量乘积：

   n(6;15;15)。

   经过 A1、A2、A3 点的平面方程：

   6x + 15y + 15z - 105 = 0。

2. 连接点 A1 和 A2 的向量：

   A1A2(5;2;0)。

   经过点 A1 和 A2 的直线方程：

   x = 3 + 5t，y = 5 + 2t，z = 4。

3. 连接点 A4 和 M 的向量：

   A4M（-2；12；-5）。

   平面 A1A2A3 的法向量：

   n(6;15;15)。

   过点A4并垂直于平面A1A2A3的直线方程：

   x = 4 - 2t，y = 7 + 3t，z = 8 - t。

4. 平行于直线 A1A2 的向量：

   A1A2(5;2;0)。

   通过点 A3 并平行于线 A1A2 的直线方程：

   x = 5t，y = 10 + 2t，z = 4。

5. 平行于直线 A1A2 的向量：

   A1A2(5;2;0)。

   通过点 A4 并垂直于线 A1A2 的平面方程：

   5x + 2y - 15z + 34 = 0。

6. 连接点 A1 和 A4 的向量：

   A1A4(1;2;-4)。

   平面 A1A2A3 的法向量：

   n(6;15;15)。

   直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的角度的正弦：

   sinα(A1A4, n) / (|A1A4| * |n|) = (6 - 30 + 60) / (√21 * √450) ≈ 0.413。

7. 平面 A1A2A3 的法向量：

   n(6;15;15)。

   坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 夹角的余弦：

   cosα = (n, k) / (|n| * |k|) = (6 + 0 + 0) / (√450) ≈ 0.267。

№2

写出穿过点 A(3;–1;2) 和 B(2;1;4) 且与向量 a = (5;–2;–1) 平行的平面的方程。

回答：

向量AB(-1;2;2)。

所需平面的法向量必须平行于向量 a，因此：

n(5;-2;-1)。

平面方程：

5(x - 3) - 2(y + 1) - (z - 2) = 0。

№3

写出穿过点 M(2;–5;3) 的直线方程，该直线平行于直线 2x – y + 3z – 1 = 0 和 5x + 4y – z – 7 = 0。

回答：

平行于直线 2x – y + 3z – 1 = 0 的向量的坐标为：

a1(2;3;1)。

平行于直线 5x + 4y – z – 7 = 0 的向量的坐标为：

a2(4;-5;17)。

向量 a1 和 a2 的向量乘积：

n(53;33;-22)。

直线方程：

x = 2 + 53t，y = -5 + 33t，z = 3 - 22t。

IDZ Ryabushko 3.1 选项 14

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