IDZ Ryabushko 3.1 Option 14

№1

Gegeben sind vier Punkte A1(3;5;4); A2(8;7;4); A3(5;10;4); A4(4;7;8). Bilden Sie Gleichungen:

1. Flugzeuge A1A2A3;
2. Direkt A1A2;
3. Gerade A4M, senkrecht zur Ebene A1A2A3;
4. Linie A3N parallel zur Linie A1A2;
5. Eine Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1 A2 steht;
6. Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3;
7. Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3.

Antwort:

1. Vektoren, die die Punkte A1, A2 und A3 verbinden:

   A1A2(5;2;0); A2A3(-3;3;0); A3A1(-2; -5;0).

   Vektorprodukt der Vektoren A1A2 und A2A3:

   n(6;15;15).

   Gleichung einer Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft:

   6x + 15y + 15z - 105 = 0.

2. Vektorverbindungspunkte A1 und A2:

   A1A2(5;2;0).

   Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft:

   x = 3 + 5t, y = 5 + 2t, z = 4.

3. Vektorverbindungspunkte A4 und M:

   A4M(-2;12;-5).

   Normalenvektor der Ebene A1A2A3:

   n(6;15;15).

   Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Ebene A1A2A3 steht:

   x = 4 - 2t, y = 7 + 3t, ​​z = 8 - t.

4. Vektor parallel zur Geraden A1A2:

   A1A2(5;2;0).

   Gleichung einer Geraden, die durch Punkt A3 verläuft und parallel zur Geraden A1A2 verläuft:

   x = 5t, y = 10 + 2t, z = 4.

5. Vektor parallel zur Geraden A1A2:

   A1A2(5;2;0).

   Gleichung einer Ebene, die durch Punkt A4 und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft:

   5x + 2y - 15z + 34 = 0.

6. Vektorverbindungspunkte A1 und A4:

   A1A4(1;2;-4).

   Normalenvektor der Ebene A1A2A3:

   n(6;15;15).

   Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3:

   sinα(A1A4, n) / (|A1A4| * |n|) = (6 - 30 + 60) / (√21 * √450) ≈ 0,413.

7. Normalenvektor der Ebene A1A2A3:

   n(6;15;15).

   Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3:

   cosα = (n, k) / (|n| * |k|) = (6 + 0 + 0) / (√450) ≈ 0,267.

№2

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch die Punkte A(3;–1;2) und B(2;1;4) parallel zum Vektor a = (5;–2;–1) verläuft.

Antwort:

Vektor AB(-1;2;2).

Der Normalenvektor der gewünschten Ebene muss parallel zum Vektor a sein, daher:

n(5;-2;-1).

Ebenengleichung:

5(x - 3) - 2(y + 1) - (z - 2) = 0.

№3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch den Punkt M(2;–5;3) verläuft, parallel zur Geraden 2x – y + 3z – 1 = 0 und 5x + 4y – z – 7 = 0.

Antwort:

Ein Vektor parallel zur Geraden 2x – y + 3z – 1 = 0 hat die Koordinaten:

a1(2;3;1).

Ein Vektor parallel zur Geraden 5x + 4y – z – 7 = 0 hat Koordinaten:

a2(4;-5;17).

Vektorprodukt der Vektoren a1 und a2:

n(53;33;-22).

Gleichung einer Geraden:

x = 2 + 53t, y = -5 + 33t, z = 3 - 22t.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 14

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 14 ist eine Mathematikaufgabe, bei der mehrere geometrische Probleme gestellt werden. Die erste Aufgabe erfordert, dass Sie Gleichungen für eine Ebene und gerade Linien erstellen sowie einige Winkel berechnen. In der zweiten Aufgabe müssen Sie eine Gleichung einer Ebene erstellen, die durch zwei gegebene Punkte verläuft und parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft. In der dritten Aufgabe müssen Sie eine Gleichung für eine Gerade erstellen, die durch einen gegebenen Punkt verläuft und parallel zu zwei gegebenen Geraden verläuft.

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