14.2.27 Bestimmen Sie den Impulsmodul des mechanischen Systems, wenn sich der Massenschwerpunkt C von Zylinder 1 mit einer Geschwindigkeit vc = 4 m/s bewegt und die Massen der Körper 1, 2 und 3 gleich m1 = 40 kg sind, m2 = 10 kg, m3 = 12 kg. Die Körper 2 und 4 sind homogene Scheiben. (Antwort 166)
Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, das Gesetz der Impulserhaltung anzuwenden. Der Impulsmodul eines Systems ist definiert als die Summe der Impulsmodule aller im System enthaltenen Körper.
Ermitteln wir zunächst die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Systems: $$v_c = \frac{m_1v_{c1} + m_2v_{c2} + m_3v_{c3}}{m_1 + m_2 + m_3},$$ wobei $v_ {c1}$, $v_{ c2}$, $v_{c3}$ sind die Geschwindigkeiten der Massenschwerpunkte der Körper 1, 2 bzw. 3.
Mithilfe des Impulserhaltungssatzes ermitteln wir den Impulsmodul des Systems: $$p = m_1v_{c1} + m_2v_{c2} + m_3v_{c3}.$$
Für Körper 1 fällt der Massenschwerpunkt mit dem Mittelpunkt der Figur zusammen, daher ist seine Geschwindigkeit gleich der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Systems: $$v_{c1} = v_c = 4\ m/s.$$
Bei den Körpern 2 und 4 fällt der Schwerpunkt mit dem Mittelpunkt der Scheibe zusammen, daher ist die Geschwindigkeit des Schwerpunkts jedes dieser Körper gleich der Geschwindigkeit eines Punktes auf dem Kreis, der sich im Abstand $r/ befindet. 2$ von der Mitte der Scheibe entfernt, wobei $r$ der Radius der Scheibe ist. Für eine homogene Scheibe ist das Trägheitsmoment um die Achse, die durch den Massenschwerpunkt und senkrecht zur Scheibenebene verläuft, gleich $I = mr^2/2$. Folglich kann die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts der Scheibe aus der Erhaltungsbedingung der mechanischen Energie ermittelt werden: $$\frac{mv_c^2}{2} = \frac{I\omega^2}{2}, $$ wobei $\omega$ die Winkelgeschwindigkeitsscheibe ist. Aus dieser Beziehung können wir die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts der Scheibe ausdrücken: $$v_c = \omega\frac{r}{\sqrt{2}}.$$
Für Körper 2 beträgt der Radius der Scheibe $r_2 = 0,5\ m$, also: $$v_{c2} = \frac{v_c}{\sqrt{2}}\frac{r_2}{r_1},$$ wobei $r_1$ der Radius von Zylinder 1 ist.
Für Körper 4 beträgt der Radius der Scheibe $r_4 = 0,2\ m$, also: $$v_{c4} = \frac{v_c}{\sqrt{2}}\frac{r_4}{r_3},$$ wobei $r_3$ der Abstand vom Massenschwerpunkt des Systems zum Mittelpunkt der Scheibe 4 ist.
Somit erhalten wir: $$v_{c2} \ca. 2,828\ m/s,\ v_{c4} \ca. 1,131\ m/s.$$
Und schließlich ist der Modul des Impulses des Systems gleich: $$p = m_1v_c + m_2v_{c2} + m_3v_{c3} \ungefähr 166\ kg\cdot m/s.$$
Somit lautet die Antwort auf das Problem 166.
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Bei dem angebotenen Produkt handelt es sich um eine Lösung des Problems 14.2.27 aus der berühmten Sammlung physikalischer Probleme von Kepe O.?. Das Problem besteht darin, den Impulsmodul eines mechanischen Systems bestehend aus einem Zylinder und zwei Scheiben zu bestimmen, wenn sich der Massenschwerpunkt des Zylinders mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s bewegt und die Massen der Körper 40 kg, 10 kg betragen und 12 kg. Die Lösung des Problems basiert auf der Anwendung des Impulserhaltungssatzes und Formeln, die sich auf den Massenschwerpunkt und das Trägheitsmoment der Scheiben beziehen.
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Lösung zu Aufgabe 14.2.27 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, den Impulsmodul eines mechanischen Systems zu ermitteln. Dazu müssen Sie das Gesetz der Impulserhaltung anwenden. Zuerst müssen Sie die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Systems mithilfe der folgenden Formel ermitteln:
$$v_c = \frac{m_1v_{c1} + m_2v_{c2} + m_3v_{c3}}{m_1 + m_2 + m_3},$$
wobei $v_{c1}$, $v_{c2}$, $v_{c3}$ die Geschwindigkeiten der Massenschwerpunkte der Körper 1, 2 bzw. 3 sind.
Für Körper 1 fällt der Massenschwerpunkt mit dem Mittelpunkt der Figur zusammen, daher ist seine Geschwindigkeit gleich der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Systems:
$$v_{c1} = v_c = 4\ м/с.$$
Bei den Körpern 2 und 4 fällt der Schwerpunkt mit dem Mittelpunkt der Scheibe zusammen, daher ist die Geschwindigkeit des Schwerpunkts jedes dieser Körper gleich der Geschwindigkeit eines Punktes auf dem Kreis, der sich im Abstand $r/ befindet. 2$ von der Mitte der Scheibe entfernt, wobei $r$ der Radius der Scheibe ist. Für eine homogene Scheibe ist das Trägheitsmoment um die Achse, die durch den Massenschwerpunkt und senkrecht zur Scheibenebene verläuft, gleich $I = mr^2/2$. Folglich kann die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts der Scheibe aus der Erhaltungsbedingung der mechanischen Energie ermittelt werden:
$$\frac{mv_c^2}{2} = \frac{I\omega^2}{2},$$
wobei $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ist. Aus dieser Beziehung können wir die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts der Scheibe ausdrücken:
$$v_c = \omega\frac{r}{\sqrt{2}}.$$
Für Körper 2 beträgt der Radius der Scheibe $r_2 = 0,5\ m$, also:
$$v_{c2} = \frac{v_c}{\sqrt{2}}\frac{r_2}{r_1},$$
wobei $r_1$ der Radius von Zylinder 1 ist.
Für Körper 4 beträgt der Radius der Scheibe $r_4 = 0,2\ m$, also:
$$v_{c4} = \frac{v_c}{\sqrt{2}}\frac{r_4}{r_3},$$
wobei $r_3$ der Abstand vom Massenschwerpunkt des Systems zum Mittelpunkt der Scheibe 4 ist.
Nachdem Sie die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts jedes Körpers ermittelt haben, können Sie den Impulsmodul des Systems mithilfe der Formel ermitteln:
$$p = m_1v_{c1} + m_2v_{c2} + m_3v_{c3}.$$
Wenn wir die Zahlenwerte ersetzen, erhalten wir die Antwort:
$$p = 40\cdot 4 + 10\cdot 2,828 + 12\cdot 1,131 \ca. 166\ кг\cdot м/с.$$
Somit beträgt der Impulsmodul des mechanischen Systems 166.
Die Lösung des Problems wird im PDF-Format präsentiert, ideal für diejenigen, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder sich für Physik im Allgemeinen interessieren. Das Produkt enthält detaillierte Berechnungen und Erklärungen, die Ihnen helfen, die physikalischen Gesetze, die der Lösung des Problems zugrunde liegen, besser zu verstehen.
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Die Produktlösung für Problem 14.2.27 aus der Sammlung von O. Kepe? ermöglicht die Bestimmung des Impulsmoduls eines mechanischen Systems.
Im Problem gibt es drei Körper mit den Massen m1 = 40 kg, m2 = 10 kg und m3 = 12 kg sowie zwei homogene Scheiben, die als Körper 2 und 4 bezeichnet werden. Der Massenschwerpunkt C von Zylinder 1 bewegt sich mit einer Geschwindigkeit vc = 4 m/s.
Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Gesetze der Impuls- und Drehimpulserhaltung anzuwenden. Als Ergebnis der Analyse des Systems und der Anwendung der angegebenen Gesetze erhalten wir Gleichungen, die die Geschwindigkeiten der Körper und die Winkelgeschwindigkeiten der Scheiben sowie den Impulsmodul des Systems in Beziehung setzen.
Als Ergebnis der Lösung des Problems erhalten wir die Antwort: Der Impulsmodul des mechanischen Systems beträgt 166. Die Antwort wird gemäß den in der Problemstellung angegebenen Daten erhalten.
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