选项 17 IDZ 3.1

№1.17

给定四个点 A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3)。建立方程：

1. 飞机 A1A2A3；
2. 直A1A2；
3. 直线A4M，垂直于平面A1A2A3；
4. 直线A3N与直线A1A2平行；
5. 通过点 A4 且垂直于直线 A1A2 的平面。

计算：

1. 直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的角度的正弦；
2. 坐标平面Oxy与平面A1A2A3之间的夹角的余弦；

回答：

1. 为了找到经过三点的平面方程，我们使用以下公式：

(x-x₁)(y₂ -y₁)(z₃ -z₁) + (和 - 和₁)(z₂ -z₁）（X₃ - X₁) + (z -z₁）（X₂ - X₁)(y₃ -y₁） - （Z Z₁)(y₂ -y₁）（X₃ - X₁) - (和 - 和₁）（X₂ - X₁)(z₃ -z₁) - (x - X₁)(z₂ -z₁)(y₃ -y₁) = 0

将这些点的坐标代入，我们得到：

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

简化一下：

3x - 3y + 6z - 18 = 0

因此，平面 A1A2A3 的方程为 3x - 3y + 6z - 18 = 0。

为了找到经过两点的直线方程，我们使用直线的参数方程：

x = x₁ + t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t(y₂ -y₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

将点 A1(6;6;5) 和 A2(4;9;5) 的坐标代入，可得：

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

因此，A1A2 线的方程的形式为 x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, z = 5。

为了找到垂直于经过三点的平面的直线的方程，我们使用该平面的法向量。平面 A1A2A3 的法向量可作为其两个方向向量的向量积找到：

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k)。

因此，平面 A1A2A3 的法向矢量的形式为 n = (-3i - 22j + 12k)。

线 A4M 必须经过点 A4(6;9;3) 并垂直于平面 A1A2A3，因此其方向向量必须平行于该平面的法向量。方向向量可以选择为n' = (22i - 3j)（向量的方向与n的方向相反，因此直线从点A4开始）。则直线A4M的参数方程为：

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

因此，直线 A4M 的方程的形式为 x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t。

线 A3N 必须平行于线 A1A2，因此其方向向量必须平行于线 A1A2 的方向向量。直线A1A2的方向向量等于：

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

那么直线A3N的方向向量也应该等于-2i + 3j。线A3N经过点A3(4;6;11)，因此其方程可以写成参数形式：

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

因此，直线 A3N 的方程的形式为 x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, z = 11。

通过点 A4 并垂直于线 A1A2 的平面的法向量必须与线 A1A2 的方向向量平行。直线A1A2的方向向量等于

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现在让我们继续解决描述中的问题：

a) 平面 A1A2A3 的方程：3x - 3y + 6z - 18 = 0。

b) A1A2 线方程：x = 6 - 2t，y = 6 + 3t，z = 5。

c) 直线A4M的方向向量：n' = (22i - 3j)。 A4M 线的方程：x = 6 + 22t，y = 9 - 3t，z = 3 + 12t。

d) 直线A3N的方向向量：u = -2i + 3j。 A3N 线的方程：x = 4 - 2t，y = 6 + 3t，z = 11。

e) 所需平面的法向量必须平行于直线 A1A2 的方向向量，即 -2i + 3j。平面方程：-2x + 3y - 18z + c = 0。代入点A4(6;9;3)的坐标，可得c = -45。因此，所需平面的方程为：-2x + 3y - 18z - 45 = 0。

f) 直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的夹角可求为直线 A1A4 的方向向量与平面 A1A2A3 的法向量之间的夹角。直线A1A4的方向向量：AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k。平面 A1A2A3 的法向矢量：n = (-3i - 22j + 12k)。那么直线与平面夹角的正弦等于： |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733。

g) 坐标平面Oxy与平面A1A2A3之间的夹角的余弦等于平面A1A2A3的法向量与Ox轴方向之间的夹角的余弦。平面 A1A2A3 的法向矢量：n = (-3i - 22j + 12k)。 Ox 轴的方向： i．那么它们之间的角度的余弦等于：(n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733)。

第 2.17 号。线段M1M2的方向向量：v = M2 - M1 = (-3i - j + k)。通过点 M 并垂直于线段 M1M2 的平面的法向量等于线段方向向量与垂直于平面的向量的向量积： n = v × (i + j + k) = （-2i + 4j - 4k）。因此，所需平面的方程为： -2x + 4y - 4z + d = 0。代入点 M 的坐标 (-1;2;3)，我们得到 d = 2。因此，平面方程穿过点 M 并垂直于线段 M1M2：-2x + 4y - 4z + 2 = 0。

***

本例中的产品是几何任务 IDZ 3.1，其中包含多个子任务。

在第一个子任务中，您需要为穿过三个给定点（A1、A2、A3）的平面以及穿过其中两个点（A1、A2）的直线创建方程。您还需要找到一条垂直于第一个平面并穿过第四个给定点 (A4) 的直线 (A4M)，以及一条平行于第二条直线 (A1A2) 的直线 (A3N)。在最后一个子任务中，您需要找到第一条线 (A1A4) 和第一个平面 (A1A2A3) 之间的角度，以及包含给定线段的平面 (M1M2) 和坐标平面 Oxy 之间的角度的余弦。

在第二个子任务中，您需要为穿过给定点 (M) 并垂直于给定线段 (M1M2) 的平面创建方程。

在第三个子任务中，您需要证明给定的直线与给定的平面平行，并且位于该平面内。

***

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