Option 17 IDZ 3.1

№1.17

Gegeben seien vier Punkte A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Bilden Sie Gleichungen:

1. Flugzeuge A1A2A3;
2. gerade A1A2;
3. Gerade A4M, senkrecht zur Ebene A1A2A3;
4. Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2;
5. Ebene, die durch Punkt A4 geht, senkrecht zur Geraden A1A2.

Berechnung:

1. Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3;
2. Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3;

Antwort:

1. Um die Gleichung einer durch drei Punkte verlaufenden Ebene zu finden, verwenden wir die Formel:

(x - X₁)(y₂ - J₁)(z₃ - z₁) + (und - und₁)(z₂ - z₁)(X₃ - X₁) + (z - z₁)(X₂ - X₁)(y₃ - J₁) - (z - z₁)(y₂ - J₁)(X₃ - X₁) - (und und₁)(X₂ - X₁)(z₃ - z₁) - (x - x₁)(z₂ - z₁)(y₃ - J₁) = 0

Wenn wir die Koordinaten der Punkte ersetzen, erhalten wir:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

Vereinfachen:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Somit lautet die Gleichung der Ebene A1A2A3 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

Um die Gleichung einer Geraden zu finden, die durch zwei Punkte verläuft, verwenden wir die parametrische Gleichung einer Geraden:

x = x₁ + t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t(y₂ - J₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

Wenn wir die Koordinaten der Punkte A1(6;6;5) und A2(4;9;5) ersetzen, erhalten wir:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Somit hat die Gleichung der Geraden A1A2 die Form x = 6 – 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

Um die Gleichung einer Geraden senkrecht zu einer durch drei Punkte verlaufenden Ebene zu finden, verwenden wir den Normalenvektor zu dieser Ebene. Der Normalenvektor zur Ebene A1A2A3 ergibt sich als Vektorprodukt seiner beiden Richtungsvektoren:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

Somit hat der Normalenvektor zur Ebene A1A2A3 die Form n = (-3i - 22j + 12k).

Die Linie A4M muss durch den Punkt A4(6;9;3) verlaufen und senkrecht zur Ebene A1A2A3 sein, daher muss ihr Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor zu dieser Ebene sein. Der Richtungsvektor kann als n' = (22i - 3j) gewählt werden (die Richtung des Vektors ist der Richtung von n entgegengesetzt, sodass die Gerade vom Punkt A4 ausgeht). Dann lautet die Parametergleichung der Geraden A4M:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Somit hat die Gleichung der Geraden A4M die Form x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

Die Linie A3N muss parallel zur Linie A1A2 sein, daher muss ihr Richtungsvektor parallel zum Richtungsvektor der Linie A1A2 sein. Der Richtungsvektor der Geraden A1A2 ist gleich:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Dann sollte der Richtungsvektor der Geraden A3N ebenfalls gleich -2i + 3j sein. Die Linie A3N verläuft durch den Punkt A3(4;6;11), sodass ihre Gleichung in parametrischer Form geschrieben werden kann:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

Somit hat die Gleichung der Geraden A3N die Form x = 4 – 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

Der Normalenvektor zur Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft, muss parallel zum Richtungsvektor der Linie A1A2 sein. Der Richtungsvektor der Geraden A1A2 ist gleich

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Das Produktdesign ist in einem schönen HTML-Format erstellt, sodass Sie das Material bequem anzeigen und studieren können. Beim Kauf eines Produkts erhalten Sie Zugriff auf eine Datei mit Aufgaben und Antworten, die Sie sowohl zum selbstständigen Arbeiten als auch zur Prüfungsvorbereitung nutzen können.

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Kommen wir nun zur Lösung der Probleme aus der Beschreibung:

a) Gleichung der Ebene A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

b) Gleichung der Geraden A1A2: x = 6 – 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

c) Richtungsvektor der Geraden A4M: n' = (22i - 3j). Gleichung der Linie A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Richtungsvektor der Geraden A3N: u = -2i + 3j. Gleichung der Linie A3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

e) Der Normalenvektor zur gewünschten Ebene muss parallel zum Richtungsvektor der Geraden A1A2 sein, also -2i + 3j. Ebenengleichung: -2x + 3y - 18z + c = 0. Wenn wir die Koordinaten des Punktes A4(6;9;3) einsetzen, erhalten wir c = -45. Somit lautet die Gleichung der gewünschten Ebene: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

e) Der Winkel zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 kann als Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Geraden A1A4 und dem Normalenvektor der Ebene A1A2A3 ermittelt werden. Richtungsvektor der Geraden A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Normalenvektor zur Ebene A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Dann ist der Sinus des Winkels zwischen der Geraden und der Ebene gleich: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733.

g) Der Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3 ist gleich dem Kosinus des Winkels zwischen dem Normalenvektor der Ebene A1A2A3 und der Richtung der Ox-Achse. Normalenvektor zur Ebene A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Richtung der Ox-Achse: i. Dann ist der Kosinus des Winkels zwischen ihnen gleich: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

Nr. 2.17. Der Richtungsvektor des Segments M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). Der Normalenvektor zur Ebene, die durch den Punkt M verläuft und senkrecht zum Segment M1M2 verläuft, ist gleich dem Vektorprodukt des Richtungsvektors des Segments und des Vektors senkrecht zur Ebene: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Somit lautet die Gleichung der gewünschten Ebene: -2x + 4y - 4z + d = 0. Wenn wir die Koordinaten des Punktes M (-1;2;3) einsetzen, erhalten wir d = 2. Somit ist die Gleichung der Ebene durch den Punkt M verlaufend und senkrecht zum Segment M1M2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

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Das Produkt ist in diesem Fall die Aufgabe IDZ 3.1 zur Geometrie, die mehrere Teilaufgaben enthält.

In der ersten Teilaufgabe müssen Sie Gleichungen für eine Ebene erstellen, die durch drei gegebene Punkte (A1, A2, A3) verläuft, sowie für eine gerade Linie, die durch zwei dieser Punkte (A1, A2) verläuft. Sie müssen außerdem eine Gerade (A4M) finden, die senkrecht zur ersten Ebene verläuft und durch den vierten gegebenen Punkt (A4) verläuft, sowie eine Gerade (A3N), die parallel zur zweiten Geraden (A1A2) verläuft. In der letzten Unteraufgabe müssen Sie den Winkel zwischen der ersten Linie (A1A4) und der ersten Ebene (A1A2A3) sowie den Kosinus des Winkels zwischen der Ebene, die das gegebene Segment (M1M2) enthält, und der Koordinatenebene Oxy ermitteln.

In der zweiten Teilaufgabe müssen Sie eine Gleichung für eine Ebene erstellen, die durch einen bestimmten Punkt (M) und senkrecht zu einem bestimmten Segment (M1M2) verläuft.

In der dritten Teilaufgabe müssen Sie zeigen, dass eine gegebene Gerade parallel zu einer gegebenen Ebene ist und auch, dass sie in dieser Ebene liegt.

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