オプション 17 IDZ 3.1

№1.17

4 つの点 A1(6;6;5) が与えられるとします。 A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3)。方程式を作成します。

1. 平面A1A2A3。
2. ストレートA1A2。
3. 直線A4M、平面A1A2A3に垂直。
4. 直線Ａ１Ａ２と平行な直線Ａ３Ｎ。
5. 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面。

計算します:

1. 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦。
2. 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦。

答え：

1. 3 点を通過する平面の方程式を求めるには、次の公式を使用します。

(x - バツ₁)(y₂ -y₁)(z₃ -z₁) + (そして - そして₁)(z₂ -z₁）（バツ₃ - バツ₁) + (z -z₁）（バツ₂ - バツ₁)(y₃ -y₁） - （グーグー₁)(y₂ -y₁）（バツ₃ - バツ₁) - (そして - そして₁）（バツ₂ - バツ₁)(z₃ -z₁) - (x - x₁)(z₂ -z₁)(y₃ -y₁) = 0

点の座標を代入すると、次のようになります。

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

単純化すると次のようになります。

3x - 3y + 6z - 18 = 0

したがって、平面 A1A2A3 の方程式は 3x - 3y + 6z - 18 = 0 となります。

2 点を通過する直線の方程式を求めるには、パラメトリックな直線の方程式を使用します。

x = x₁ +t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t(y₂ -y₁)

z = z₁ +t(z₂ - z₁)

点 A1(6;6;5) と A2(4;9;5) の座標を代入すると、次のようになります。

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

したがって、直線 A1A2 の方程式は、x = 6 - 2t、y = 6 + 3t、z = 5 の形式になります。

3 点を通る平面に垂直な線の方程式を求めるには、この平面の法線ベクトルを使用します。平面 A1A2A3 の法線ベクトルは、その 2 つの方向ベクトルのベクトル積として求められます。

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k)。

したがって、平面 A1A2A3 に対する法線ベクトルは、n = (-3i - 22j + 12k) の形式になります。

線分 A4M は点 A4(6;9;3) を通過し、平面 A1A2A3 に垂直でなければなりません。したがって、その方向ベクトルはこの平面の法線ベクトルに平行でなければなりません。方向ベクトルは、n' = (22i - 3j) として選択できます (ベクトルの方向は n の方向と反対なので、直線は点 A4 から進みます)。この場合、直線 A4M のパラメトリック方程式は次のようになります。

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

したがって、直線 A4M の方程式は、x = 6 + 22t、y = 9 - 3t、z = 3 + 12t の形式になります。

線分 A3N は線分 A1A2 と平行でなければなりません。したがって、その方向ベクトルは線分 A1A2 の方向ベクトルと平行でなければなりません。直線 A1A2 の方向ベクトルは次と等しくなります。

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

この場合、直線 A3N の方向ベクトルも -2i + 3j に等しくなります。直線 A3N は点 A3(4;6;11) を通過するため、その方程式はパラメトリック形式で書くことができます。

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

したがって、直線 A3N の方程式は、x = 4 - 2t、y = 6 + 3t、z = 11 の形式になります。

点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の法線ベクトルは、線 A1A2 の方向ベクトルと平行でなければなりません。直線 A1A2 の方向ベクトルは次のようになります。

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それでは、説明にある問題の解決に移りましょう。

a) 平面 A1A2A3 の方程式: 3x - 3y + 6z - 18 = 0。

b) 直線 A1A2 の方程式：x = 6 - 2t、y = 6 + 3t、z = 5。

c) 直線 A4M の方向ベクトル: n' = (22i - 3j)。直線 A4M の方程式: x = 6 + 22t、y = 9 - 3t、z = 3 + 12t。

d) 直線 A3N の方向ベクトル: u = -2i + 3j。直線A3Nの方程式：x = 4 - 2t、y = 6 + 3t、z = 11。

e) 目的の平面の法線ベクトルは、直線 A1A2 の方向ベクトル、つまり -2i + 3j に平行でなければなりません。平面方程式: -2x + 3y - 18z + c = 0。点 A4(6;9;3) の座標を代入すると、c = -45 が得られます。したがって、目的の平面の方程式は、-2x + 3y - 18z - 45 = 0 となります。

ｅ）直線Ａ１Ａ４と平面Ａ１Ａ２Ａ３との間の角度は、直線Ａ１Ａ４の方向ベクトルと平面Ａ１Ａ２Ａ３の法線ベクトルとの間の角度として求められる。直線A1A4の方向ベクトル：AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k。平面 A1A2A3 の法線ベクトル: n = (-3i - 22j + 12k)。この場合、線と平面の間の角度の正弦は、 |AB × n| に等しくなります。 / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733。

ｇ）座標面Ｏｘｙと面Ａ１Ａ２Ａ３との間の角度の余弦は、面Ａ１Ａ２Ａ３の法線ベクトルとＯｘ軸の方向との間の角度の余弦に等しい。平面 A1A2A3 の法線ベクトル: n = (-3i - 22j + 12k)。 Ox 軸の方向: i.この場合、それらの間の角度の余弦は、(n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733) に等しくなります。

2.17号。セグメント M1M2 の方向ベクトル: v = M2 - M1 = (-3i - j + k)。点 M を通り線分 M1M2 に垂直な平面の法線ベクトルは、線分の方向ベクトルと平面に垂直なベクトルの積に等しくなります。 n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k)。したがって、目的の平面の方程式は、-2x + 4y - 4z + d = 0 となります。点 M の座標 (-1;2;3) を代入すると、d = 2 が得られます。したがって、平面の方程式は次のようになります。点 M を通り、線分 M1M2 に垂直: -2x + 4y - 4z + 2 = 0。

***

この場合の成果物はジオメトリに関するタスク IDZ 3.1 であり、これにはいくつかのサブタスクが含まれています。

最初のサブタスクでは、指定された 3 つの点 (A1、A2、A3) を通過する平面と、これらの点のうちの 2 点 (A1、A2) を通過する直線の方程式を作成する必要があります。また、最初の平面に垂直で 4 番目の指定点 (A4) を通る直線 (A4M) と、2 番目の直線 (A1A2) に平行な直線 (A3N) を見つける必要があります。最後のサブタスクでは、最初の直線 (A1A4) と最初の平面 (A1A2A3) の間の角度、および指定されたセグメント (M1M2) を含む平面と座標平面 Oxy の間の角度の余弦を見つける必要があります。 。

2 番目のサブタスクでは、指定された点 (M) を通過し、指定されたセグメント (M1M2) に垂直な平面の方程式を作成する必要があります。

3 番目のサブタスクでは、指定された線分が指定された平面に平行であること、また、この線分がこの平面内にあることを示す必要があります。

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