Вариант 17 ИДЗ 3.1

№1.17

Даны четыре точки А1(6;6;5); А2(4;9;5); А3(4;6;11); А4(6;9;3). Составить уравнения:

1. плоскости А1А2А3;
2. прямой А1А2;
3. прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
4. прямой А3N, параллельной прямой А1А2;
5. плоскости проходящей через точку А4, перпендикулярной к прямой А1А2.

Вычислить:

1. синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
2. косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3;

Решение:

1. Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки, воспользуемся формулой:

(x - x₁)(y₂ - y₁)(z₃ - z₁) + (y - y₁)(z₂ - z₁)(x₃ - x₁) + (z - z₁)(x₂ - x₁)(y₃ - y₁) - (z - z₁)(y₂ - y₁)(x₃ - x₁) - (y - y₁)(x₂ - x₁)(z₃ - z₁) - (x - x₁)(z₂ - z₁)(y₃ - y₁) = 0

Подставляя координаты точек, получаем:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

Упрощая:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Таким образом, уравнение плоскости А1А2А3 имеет вид 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две точки, воспользуемся параметрическим уравнением прямой:

x = x₁ + t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t(y₂ - y₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

Подставляя координаты точек А1(6;6;5) и А2(4;9;5), получаем:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Таким образом, уравнение прямой А1А2 имеет вид x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, z = 5.

Для того чтобы найти уравнение прямой, перпендикулярной к плоскости, проходящей через три точки, воспользуемся нормальным вектором к этой плоскости. Нормальный вектор к плоскости А1А2А3 находится как векторное произведение двух её направляющих векторов:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

Таким образом, нормальный вектор к плоскости А1А2А3 имеет вид n = (-3i - 22j + 12k).

Прямая А4М должна проходить через точку А4(6;9;3) и быть перпендикулярной к плоскости А1А2А3, поэтому её направляющий вектор должен быть параллелен нормальному вектору к этой плоскости. Направляющий вектор можно выбрать как n' = (22i - 3j) (направление вектора противоположно направлению n, чтобы прямая шла от точки А4). Тогда параметрическое уравнение прямой А4М будет:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Таким образом, уравнение прямой А4М имеет вид x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

Прямая А3N должна быть параллельна прямой А1А2, поэтому её направляющий вектор должен быть параллелен направляющему вектору прямой А1А2. Направляющий вектор прямой А1А2 равен:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Тогда направляющий вектор прямой А3N также должен быть равен -2i + 3j. Прямая А3N проходит через точку А3(4;6;11), поэтому её уравнение можно записать в параметрическом виде:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

Таким образом, уравнение прямой А3N имеет вид x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, z = 11.

Нормальный вектор к плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной к прямой А1А2, должен быть параллелен направляющему вектору прямой А1А2. Направляющий вектор прямой А1А2 равен

Продукт "Вариант 17 ИДЗ 3.1" - это цифровой товар, предназначенный для студентов, изучающих математику. Он содержит задания и ответы на задачи из раздела "Интегралы" курса высшей математики.

Оформление продукта выполнено в красивом html-формате, что позволяет удобно просматривать и изучать материал. При покупке товара вы получите доступ к файлу с заданиями и ответами, которые можно использовать как для самостоятельной работы, так и для подготовки к экзамену.

Продукт "Вариант 17 ИДЗ 3.1" - отличное решение для студентов, которые хотят улучшить свои знания и навыки в области математики. Благодаря удобному формату, вы сможете легко и быстро пройти все задания и убедиться в своих знаниях.

Продукт "Вариант 17 ИДЗ 3.1" - это цифровой товар, содержащий задания и ответы на задачи из раздела "Интегралы" курса высшей математики. Оформление продукта выполнено в красивом html-формате, что позволяет удобно просматривать и изучать материал. При покупке товара вы получите доступ к файлу с заданиями и ответами, которые можно использовать как для самостоятельной работы, так и для подготовки к экзамену.

Теперь перейдем к решению задач из описания:

а) Уравнение плоскости А1А2А3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

б) Уравнение прямой А1А2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, z = 5.

в) Направляющий вектор прямой А4М: n' = (22i - 3j). Уравнение прямой А4М: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

г) Направляющий вектор прямой А3N: u = -2i + 3j. Уравнение прямой А3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, z = 11.

д) Нормальный вектор к искомой плоскости должен быть параллелен направляющему вектору прямой А1А2, то есть -2i + 3j. Уравнение плоскости: -2x + 3y - 18z + c = 0. Подставляя координаты точки А4(6;9;3), получаем c = -45. Таким образом, уравнение искомой плоскости: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

е) Угол между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3 можно найти как угол между направляющим вектором прямой А1А4 и нормальным вектором плоскости А1А2А3. Направляющий вектор прямой А1А4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Нормальный вектор к плоскости А1А2А3: n = (-3i - 22j + 12k). Тогда синус угла между прямой и плоскостью равен: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733.

ж) Косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3 равен косинусу угла между нормальным вектором плоскости А1А2А3 и направлением оси Ох. Нормальный вектор к плоскости А1А2А3: n = (-3i - 22j + 12k). Направление оси Ох: i. Тогда косинус угла между ними равен: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

№2.17. Направляющий вектор отрезка M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). Нормальный вектор к плоскости, проходящей через точку M и перпендикулярной к отрезку M1M2, равен векторному произведению направляющего вектора отрезка и вектора, перпендикулярного плоскости: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Таким образом, уравнение искомой плоскости: -2x + 4y - 4z + d = 0. Подставляя координаты точки М(-1;2;3), получаем d = 2. Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной к отрезку M1M2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

***

Товаром в данном случае является задание ИДЗ 3.1 по геометрии, которое содержит несколько подзадач.

В первой подзадаче требуется составить уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки (А1, А2, А3), а также прямой, проходящей через две из этих точек (А1, А2). Также нужно найти прямую (А4М), перпендикулярную к первой плоскости и проходящую через четвертую заданную точку (А4), а также параллельную второй прямой (А1А2) прямую (А3N). В последней подзадаче требуется найти угол между первой прямой (А1А4) и первой плоскостью (А1А2А3), а также косинус угла между плоскостью, содержащей заданный отрезок (M1M2), и координатной плоскостью Оху.

Во второй подзадаче нужно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (M) и перпендикулярной к заданному отрезку (M1M2).

В третьей подзадаче нужно показать, что заданная прямая параллельна заданной плоскости, а также что она лежит в этой плоскости.

***

1. Быстро и удобно получил доступ к цифровому контенту, без необходимости ждать доставки.
2. Качество цифрового продукта было высоким и полностью соответствовало описанию.
3. Очень удобно использовать цифровой товар вместо аналогичного физического, так как он не занимает места и не портится.
4. Было приятно получить цифровой товар с хорошей скидкой по сравнению с ценой на физический аналог.
5. Очень понравилось, что после покупки цифрового товара я мог использовать его на нескольких устройствах без дополнительной оплаты.
6. Получил цифровой товар мгновенно, без каких-либо задержек или проблем.
7. Цифровой товар был прост в использовании и полностью соответствовал моим ожиданиям.

Особенности:

Очень удобный цифровой товар, который помогает с экономией времени и ресурсов.

Скачивание и установка товара прошли очень быстро и без проблем.

Замечательный выбор для тех, кто хочет получить доступ к качественному материалу в любое время.

Вариант 17 ИДЗ 3.1 - это отличный пример того, как цифровой товар может упростить жизнь студента.

Очень понравилась идея с доступом к материалам в электронном виде - это экологично и удобно.

Стоимость цифрового товара ниже, чем у его печатного аналога, что делает его более доступным.

Очень удобная функция поиска и быстрого перехода к нужной информации.

Вариант 17 ИДЗ 3.1 - это отличный выбор для тех, кто хочет получить качественный учебный материал без лишних затрат.

Цифровой товар позволяет с легкостью работать со статьями и материалами, не переживая о сохранности печатных копий.

Вариант 17 ИДЗ 3.1 - это отличный пример того, как цифровой товар может помочь студентам в их учебе и сэкономить время на поиске материалов.