Opzione 17 IDZ 3.1

№1.17

Dati quattro punti A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Crea equazioni:

1. aerei A1A2A3;
2. dritto A1A2;
3. retta A4M, perpendicolare al piano A1A2A3;
4. retta A3N parallela alla retta A1A2;
5. piano passante per il punto A4, perpendicolare alla retta A1A2.

Calcolare:

1. seno dell'angolo compreso tra la retta A1A4 e il piano A1A2A3;
2. coseno dell'angolo compreso tra il piano delle coordinate Oxy e il piano A1A2A3;

Risposta:

1. Per trovare l'equazione del piano passante per tre punti si usa la formula:

(x-x₁)(y₂ - sì₁)(z₃ -z₁) + (e - e₁)(z₂ -z₁)(X₃ - X₁) + (z-z₁)(X₂ - X₁)(y₃ - sì₁) - (z-z₁)(y₂ - sì₁)(X₃ - X₁) - (e e₁)(X₂ - X₁)(z₃ -z₁) - (x-x₁)(z₂ -z₁)(y₃ - sì₁) = 0

Sostituendo le coordinate dei punti otteniamo:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

Per semplificare:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Pertanto, l'equazione del piano A1A2A3 è 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

Per trovare l'equazione di una retta passante per due punti, utilizziamo l'equazione parametrica di una retta:

x = x₁ +t(x₂ - X₁)

y = y₁ +t(y₂ - sì₁)

z = z₁ +t(z₂ -z₁)

Sostituendo le coordinate dei punti A1(6;6;5) e A2(4;9;5), otteniamo:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Pertanto, l'equazione della linea A1A2 ha la forma x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

Per trovare l'equazione di una retta perpendicolare ad un piano passante per tre punti, utilizziamo il vettore normale a questo piano. Il vettore normale al piano A1A2A3 si trova come il prodotto vettoriale dei suoi due vettori di direzione:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

Pertanto, il vettore normale al piano A1A2A3 ha la forma n = (-3i - 22j + 12k).

La linea A4M deve passare per il punto A4(6;9;3) ed essere perpendicolare al piano A1A2A3, quindi il suo vettore direzione deve essere parallelo al vettore normale a questo piano. Il vettore direzione può essere scelto come n' = (22i - 3j) (la direzione del vettore è opposta alla direzione di n, per cui la retta va dal punto A4). Allora l’equazione parametrica della retta A4M sarà:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Pertanto, l'equazione della retta A4M ha la forma x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

La linea A3N deve essere parallela alla linea A1A2, quindi il suo vettore direzione deve essere parallelo al vettore direzione della linea A1A2. Il vettore direzione della retta A1A2 è uguale a:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Allora anche il vettore direzione della retta A3N dovrebbe essere uguale a -2i + 3j. La retta A3N passa per il punto A3(4;6;11), quindi la sua equazione può essere scritta in forma parametrica:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

Pertanto, l'equazione della retta A3N ha la forma x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

Il vettore normale al piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2 deve essere parallelo al vettore direzione della linea A1A2. Il vettore direzione della retta A1A2 è uguale a

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Passiamo ora alla risoluzione dei problemi dalla descrizione:

a) Equazione del piano A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

b) Equazione della retta A1A2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

c) Vettore direzione della retta A4M: n' = (22i - 3j). Equazione della retta A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Vettore direzione della retta A3N: u = -2i + 3j. Equazione della retta A3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

e) Il vettore normale al piano desiderato deve essere parallelo al vettore direzione della retta A1A2, cioè -2i + 3j. Equazione del piano: -2x + 3y - 18z + c = 0. Sostituendo le coordinate del punto A4(6;9;3), otteniamo c = -45. Pertanto, l'equazione del piano desiderato è: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

e) L'angolo tra la retta A1A4 e il piano A1A2A3 può essere trovato come l'angolo tra il vettore direzione della retta A1A4 e il vettore normale del piano A1A2A3. Vettore direzione della retta A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Vettore normale al piano A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Allora il seno dell'angolo formato dalla retta e dal piano è uguale a: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| *qrt(733)) = 3qrt(733)/733.

g) Il coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano A1A2A3 è uguale al coseno dell'angolo formato dal vettore normale del piano A1A2A3 e la direzione dell'asse Ox. Vettore normale al piano A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Direzione dell'asse del Bue: i. Allora il coseno dell'angolo compreso tra loro è uguale a: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

N. 2.17. Il vettore di direzione del segmento M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). Il vettore normale al piano passante per il punto M e perpendicolare al segmento M1M2 è uguale al prodotto vettoriale del vettore direzione del segmento e del vettore perpendicolare al piano: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Quindi l'equazione del piano desiderato è: -2x + 4y - 4z + d = 0. Sostituendo le coordinate del punto M (-1;2;3), otteniamo d = 2. Quindi l'equazione del piano passante per il punto M e perpendicolare al segmento M1M2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

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Il prodotto in questo caso è l'attività IDZ 3.1 sulla geometria, che contiene diverse attività secondarie.

Nella prima sottoattività, devi creare le equazioni per un piano che passa per tre punti dati (A1, A2, A3), nonché una linea retta che passa per due di questi punti (A1, A2). Devi anche trovare una linea retta (A4M) perpendicolare al primo piano e passante per il quarto punto dato (A4), nonché una linea retta (A3N) parallela alla seconda retta (A1A2). Nell'ultima sottoattività, devi trovare l'angolo tra la prima linea retta (A1A4) e il primo piano (A1A2A3), nonché il coseno dell'angolo tra il piano contenente il segmento indicato (M1M2) e il piano delle coordinate Oxy .

Nella seconda sottoattività, devi creare un'equazione per un piano passante per un dato punto (M) e perpendicolare a un dato segmento (M1M2).

Nella terza sottoattività, devi dimostrare che una determinata linea è parallela a un determinato piano e anche che si trova su questo piano.

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