Možnost 17 IDZ 3.1

№1.17

Jsou dány čtyři body A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Sestavte rovnice:

1. roviny A1A2A3;
2. přímý A1A2;
3. přímka A4M, kolmá k rovině A1A2A3;
4. přímka A3N rovnoběžná s přímkou ​​A1A2;
5. rovina procházející bodem A4, kolmá k přímce A1A2.

Vypočítat:

1. sinus úhlu mezi přímkou ​​A1A4 a rovinou A1A2A3;
2. kosinus úhlu mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou A1A2A3;

Odpovědět:

1. Abychom našli rovnici roviny procházející třemi body, použijeme vzorec:

(x-x₁) (y₂ - y₁)(z₃ - z₁) + (a - a₁)(z₂ - z₁)(X₃ - X₁) + (z - z₁)(X₂ - X₁) (y₃ - y₁) - (z - z₁) (y₂ - y₁)(X₃ - X₁) - (a - a₁)(X₂ - X₁)(z₃ - z₁) - (x - X₁)(z₂ - z₁) (y₃ - y₁) = 0

Dosazením souřadnic bodů dostaneme:

(x - 6) (9 - 6) (11 - 5) + (y - 6) (5 - 5) (4 - 6) + (z - 5) (4 - 6) (6 - 6) - (z - 5) (9 - 6) (4 - 6) - (y - 6) (4 - 6) (11 - 5) - (x - 6) (5 - 5) (6 - 11) = 0

Pro zjednodušení:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Rovnice roviny A1A2A3 je tedy 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

K nalezení rovnice přímky procházející dvěma body použijeme parametrickou rovnici přímky:

x = x₁ + t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t (y₂ - y₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

Dosazením souřadnic bodů A1(6;6;5) a A2(4;9;5) dostaneme:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Rovnice přímky A1A2 má tedy tvar x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

Abychom našli rovnici přímky kolmé k rovině procházející třemi body, použijeme k této rovině normálový vektor. Normální vektor k rovině A1A2A3 se nachází jako vektorový součin jejích dvou směrových vektorů:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB x AC = (-3i - 22j + 12k).

Normálový vektor k rovině A1A2A3 má tedy tvar n = (-3i - 22j + 12k).

Přímka A4M musí procházet bodem A4(6;9;3) a být kolmá k rovině A1A2A3, proto její směrový vektor musí být rovnoběžný s normálou k této rovině. Směrový vektor lze zvolit jako n' = (22i - 3j) (směr vektoru je opačný než směr n, takže přímka vede z bodu A4). Pak bude parametrická rovnice přímky A4M:

x = 6 + 22 t

y = 9 - 3 t

z = 3 + 12t

Rovnice přímky A4M má tedy tvar x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

Úsečka A3N musí být rovnoběžná s úsečkou A1A2, proto její směrový vektor musí být rovnoběžný se směrovým vektorem úsečky A1A2. Směrový vektor přímky A1A2 se rovná:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Pak by měl být směrový vektor přímky A3N také roven -2i + 3j. Přímka A3N prochází bodem A3(4;6;11), takže její rovnici lze napsat v parametrickém tvaru:

x = 4 - 2 t

y = 6 + 3t

z = 11

Rovnice přímky A3N má tedy tvar x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

Vektor normály k rovině procházející bodem A4 a kolmé k přímce A1A2 musí být rovnoběžný se směrovým vektorem přímky A1A2. Směrový vektor přímky A1A2 je roven

Produkt "Volba 17 IDZ 3.1" je digitální produkt určený pro studenty studující matematiku. Obsahuje zadání a odpovědi na problémy ze sekce "Integrály" vyššího kurzu matematiky.

Design produktu je vyroben v krásném formátu html, což usnadňuje prohlížení a studium materiálu. Při zakoupení produktu získáte přístup k souboru s úkoly a odpověďmi, které lze použít jak pro samostatnou práci, tak pro přípravu na zkoušku.

Produkt "Volba 17 IDZ 3.1" je vynikajícím řešením pro studenty, kteří si chtějí zlepšit své znalosti a dovednosti v matematice. Díky pohodlnému formátu snadno a rychle dokončíte všechny úkoly a ověříte své znalosti.

Produkt "Volba 17 IDZ 3.1" je digitální produkt obsahující úkoly a odpovědi na problémy ze sekce "Integrály" vyššího kurzu matematiky. Design produktu je vyroben v krásném formátu html, což usnadňuje prohlížení a studium materiálu. Při zakoupení produktu získáte přístup k souboru s úkoly a odpověďmi, které lze použít jak pro samostatnou práci, tak pro přípravu na zkoušku.

Nyní přejdeme k řešení problémů z popisu:

a) Rovnice roviny A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

b) Rovnice přímky A1A2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

c) Směrový vektor přímky A4M: n' = (22i - 3j). Rovnice přímky A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Směrový vektor přímky A3N: u = -2i + 3j. Rovnice přímky A3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

e) Vektor normály k požadované rovině musí být rovnoběžný se směrovým vektorem přímky A1A2, tedy -2i + 3j. Rovinná rovnice: -2x + 3y - 18z + c = 0. Dosazením souřadnic bodu A4(6;9;3) dostaneme c = -45. Rovnice požadované roviny je tedy: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

e) Úhel mezi přímkou ​​A1A4 a rovinou A1A2A3 lze nalézt jako úhel mezi směrovým vektorem přímky A1A4 a normálovým vektorem roviny A1A2A3. Směrový vektor přímky A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Normálový vektor k rovině A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Potom je sinus úhlu mezi přímkou ​​a rovinou roven: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733.

g) Kosinus úhlu mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou A1A2A3 je roven kosinu úhlu mezi normálovým vektorem roviny A1A2A3 a směrem osy Ox. Normálový vektor k rovině A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Směr osy Ox: i. Potom je kosinus úhlu mezi nimi roven: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

Č. 2.17. Směrový vektor segmentu M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). Vektor normály k rovině procházející bodem M a kolmé k úsečce M1M2 je roven vektorovému součinu směrového vektoru úsečky a vektoru kolmého k rovině: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Rovnice požadované roviny je tedy: -2x + 4y - 4z + d = 0. Dosazením souřadnic bodu M (-1;2;3) získáme d = 2. Rovnice roviny procházející bodem M a kolmým na úsečku M1M2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

***

Produktem je v tomto případě úloha IDZ 3.1 o geometrii, která obsahuje několik dílčích úloh.

V prvním dílčím úkolu je potřeba vytvořit rovnice pro rovinu procházející třemi danými body (A1, A2, A3) a také přímku procházející dvěma z těchto bodů (A1, A2). Musíte také najít přímku (A4M) kolmou k první rovině a procházející čtvrtým daným bodem (A4) a také přímku (A3N) rovnoběžnou s druhou přímkou ​​(A1A2). V posledním dílčím úkolu je potřeba najít úhel mezi první přímkou ​​(A1A4) a první rovinou (A1A2A3) a také kosinus úhlu mezi rovinou obsahující daný segment (M1M2) a souřadnicovou rovinou Oxy .

Ve druhém dílčím úkolu je potřeba vytvořit rovnici pro rovinu procházející daným bodem (M) a kolmou na daný segment (M1M2).

Ve třetím dílčím úkolu musíte ukázat, že daná přímka je rovnoběžná s danou rovinou a také že leží v této rovině.

***

1. Získejte přístup k digitálnímu obsahu rychle a pohodlně, aniž byste museli čekat na doručení.
2. Kvalita digitálního produktu byla vysoká a plně odpovídala popisu.
3. Je velmi výhodné použít digitální produkt místo podobného fyzického produktu, protože nezabírá místo a nezhoršuje se.
4. Bylo příjemné získat digitální produkt s dobrou slevou ve srovnání s cenou fyzického protějšku.
5. Opravdu se mi líbilo, že jakmile jsem si zakoupil digitální produkt, mohl jsem jej používat na více zařízeních, aniž bych musel platit navíc.
6. Digitální produkt jste obdrželi okamžitě bez jakýchkoli zpoždění nebo problémů.
7. Digitální produkt byl snadno použitelný a plně splnil moje očekávání.

Zvláštnosti:

Velmi praktický digitální produkt, který pomáhá šetřit čas a zdroje.

Stažení a instalace produktu proběhla velmi rychle a bez problémů.

Výborná volba pro ty, kteří chtějí mít kdykoli přístup ke kvalitnímu materiálu.

IPD Option 17 3.1 je skvělým příkladem toho, jak může digitální produkt usnadnit studentovi život.

Velmi se mi líbila myšlenka přístupu k materiálům v elektronické podobě - ​​je to šetrné k životnímu prostředí a pohodlné.

Cena digitálního produktu je nižší než cena jeho tištěného protějšku, takže je dostupnější.

Velmi pohodlná funkce vyhledávání a rychlý přechod k potřebným informacím.

Možnost 17 IPD 3.1 je vynikající volbou pro ty, kteří chtějí kvalitní učební materiál bez dalších nákladů.

Digitální produkt usnadňuje práci s články a materiály bez obav o bezpečnost tištěných kopií.

Možnost 17 IPD 3.1 je skvělým příkladem toho, jak může digitální produkt pomoci studentům při studiu a ušetřit čas při hledání materiálů.