Opción 17 IDZ 3.1

№1.17

Dados cuatro puntos A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Inventa ecuaciones:

1. aviones A1A2A3;
2. recto A1A2;
3. recta A4M, perpendicular al plano A1A2A3;
4. recta A3N paralela a la recta A1A2;
5. plano que pasa por el punto A4, perpendicular a la recta A1A2.

Calcular:

1. seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3;
2. coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3;

Respuesta:

1. Para encontrar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos utilizamos la fórmula:

(x-x₁)(y₂ - y₁)(z₃ - z₁) + (y - y₁)(z₂ - z₁)(X₃ - X₁) + (z - z₁)(X₂ - X₁)(y₃ - y₁) - (z - z₁)(y₂ - y₁)(X₃ - X₁) - (y - y₁)(X₂ - X₁)(z₃ - z₁) - (x-x₁)(z₂ - z₁)(y₃ - y₁) = 0

Sustituyendo las coordenadas de los puntos obtenemos:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

Simplificar:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Así, la ecuación del plano A1A2A3 es 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

Para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos, utilizamos la ecuación paramétrica de una recta:

x = x₁ +t(x₂ - X₁)

y = y₁ +t(y₂ - y₁)

z = z₁ +t(z₂ - z₁)

Sustituyendo las coordenadas de los puntos A1(6;6;5) y A2(4;9;5), obtenemos:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Así, la ecuación de la recta A1A2 tiene la forma x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

Para encontrar la ecuación de una recta perpendicular a un plano que pasa por tres puntos, utilizamos el vector normal a este plano. El vector normal al plano A1A2A3 se encuentra como el producto vectorial de sus dos vectores directores:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

CA = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

norte = AB × CA = (-3i - 22j + 12k).

Por tanto, el vector normal al plano A1A2A3 tiene la forma n = (-3i - 22j + 12k).

La recta A4M debe pasar por el punto A4(6;9;3) y ser perpendicular al plano A1A2A3, por lo tanto su vector director debe ser paralelo al vector normal a este plano. El vector dirección se puede elegir como n' = (22i - 3j) (la dirección del vector es opuesta a la dirección de n, de modo que la línea recta va desde el punto A4). Entonces la ecuación paramétrica de la recta A4M será:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Por tanto, la ecuación de la recta A4M tiene la forma x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

La línea A3N debe ser paralela a la línea A1A2, por lo tanto su vector dirección debe ser paralelo al vector dirección de la línea A1A2. El vector director de la recta A1A2 es igual a:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Entonces el vector director de la recta A3N también debería ser igual a -2i + 3j. La recta A3N pasa por el punto A3(4;6;11), por lo que su ecuación se puede escribir en forma paramétrica:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

Así, la ecuación de la recta A3N tiene la forma x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

El vector normal al plano que pasa por el punto A4 y perpendicular a la recta A1A2 debe ser paralelo al vector director de la recta A1A2. El vector director de la recta A1A2 es igual a

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El diseño del producto está realizado en un hermoso formato html, que le permite ver y estudiar cómodamente el material. Al adquirir un producto, recibirás acceso a un archivo con tareas y respuestas que podrás utilizar tanto para el trabajo independiente como para prepararte para el examen.

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Ahora pasemos a resolver los problemas de la descripción:

a) Ecuación del plano A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

b) Ecuación de la recta A1A2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 5.

c) Vector director de la recta A4M: n' = (22i - 3j). Ecuación de la recta A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Vector director de la recta A3N: u = -2i + 3j. Ecuación de la recta A3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 11.

e) El vector normal al plano deseado debe ser paralelo al vector director de la recta A1A2, es decir -2i + 3j. Ecuación plana: -2x + 3y - 18z + c = 0. Sustituyendo las coordenadas del punto A4(6;9;3), obtenemos c = -45. Así, la ecuación del plano deseado es: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

e) El ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3 se puede encontrar como el ángulo entre el vector director de la recta A1A4 y el vector normal del plano A1A2A3. Vector director de la recta A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Vector normal al plano A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Entonces el seno del ángulo entre la recta y el plano es igual a: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * raíz cuadrada (733)) = 3 raíz cuadrada (733)/733.

g) El coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3 es igual al coseno del ángulo entre el vector normal del plano A1A2A3 y la dirección del eje Ox. Vector normal al plano A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Dirección del eje Ox: i. Entonces el coseno del ángulo entre ellos es igual a: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

N° 2.17. El vector director del segmento M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). El vector normal al plano que pasa por el punto M y perpendicular al segmento M1M2 es igual al producto vectorial del vector director del segmento y el vector perpendicular al plano: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Así, la ecuación del plano deseado es: -2x + 4y - 4z + d = 0. Sustituyendo las coordenadas del punto M (-1;2;3), obtenemos d = 2. Así, la ecuación del plano pasando por el punto M y perpendicular al segmento M1M2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

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El producto en este caso es la tarea IDZ 3.1 sobre geometría, que contiene varias subtareas.

En la primera subtarea, debes crear ecuaciones para un plano que pasa por tres puntos dados (A1, A2, A3), así como una línea recta que pasa por dos de estos puntos (A1, A2). También necesita encontrar una línea recta (A4M) perpendicular al primer plano y que pase por el cuarto punto dado (A4), así como una línea recta (A3N) paralela a la segunda línea recta (A1A2). En la última subtarea, necesitas encontrar el ángulo entre la primera línea (A1A4) y el primer plano (A1A2A3), así como el coseno del ángulo entre el plano que contiene el segmento dado (M1M2) y el plano de coordenadas Oxy.

En la segunda subtarea, debes crear una ecuación para un plano que pasa por un punto determinado (M) y es perpendicular a un segmento determinado (M1M2).

En la tercera subtarea, debes demostrar que una línea dada es paralela a un plano dado y también que se encuentra en este plano.

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