Επιλογή 17 IDZ 3.1

№1.17

Δίνονται τέσσερις βαθμοί A1(6;6;5); Α2(4;9;5); Α3(4;6;11); Α4(6;9;3). Δημιουργήστε εξισώσεις:

1. αεροπλάνα A1A2A3;
2. ευθεία A1A2;
3. ευθεία γραμμή A4M, κάθετη στο επίπεδο A1A2A3.
4. ευθεία γραμμή A3N παράλληλη με την ευθεία A1A2.
5. επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Α4, κάθετο στην ευθεία Α1Α2.

Υπολογίζω:

1. ημίτονο της γωνίας μεταξύ της ευθείας γραμμής A1A4 και του επιπέδου A1A2A3.
2. συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του επιπέδου συντεταγμένων Oxy και του επιπέδου A1A2A3.

Απάντηση:

1. Για να βρούμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

(x - Χ₁) (y₂ - y₁)(ζ₃ - z₁) + (και - και₁)(ζ₂ - z₁)(Χ₃ - Χ₁) + (z - z₁)(Χ₂ - Χ₁) (y₃ - y₁) - (z - z₁) (y₂ - y₁)(Χ₃ - Χ₁) - (και - και₁)(Χ₂ - Χ₁)(ζ₃ - z₁) - (x - x₁)(ζ₂ - z₁) (y₃ - y₁) = 0

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των σημείων, παίρνουμε:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

Για απλοποίηση:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Έτσι, η εξίσωση του επιπέδου A1A2A3 είναι 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία, χρησιμοποιούμε την παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας:

x = x₁ + t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t(y₂ - y₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των σημείων A1(6;6;5) και A2(4;9;5), παίρνουμε:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Έτσι, η εξίσωση της γραμμής A1A2 έχει τη μορφή x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 5.

Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας κάθετης σε ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία σημεία, χρησιμοποιούμε το κανονικό διάνυσμα σε αυτό το επίπεδο. Το κανονικό διάνυσμα στο επίπεδο A1A2A3 βρίσκεται ως το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων δύο κατευθύνσεων:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

Έτσι, το κανονικό διάνυσμα στο επίπεδο A1A2A3 έχει τη μορφή n = (-3i - 22j + 12k).

Η ευθεία A4M πρέπει να διέρχεται από το σημείο A4(6;9;3) και να είναι κάθετη στο επίπεδο A1A2A3, επομένως το διάνυσμα κατεύθυνσής της πρέπει να είναι παράλληλο με το κανονικό διάνυσμα σε αυτό το επίπεδο. Το διάνυσμα κατεύθυνσης μπορεί να επιλεγεί ως n' = (22i - 3j) (η κατεύθυνση του διανύσματος είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του n, έτσι ώστε η ευθεία γραμμή να πηγαίνει από το σημείο Α4). Τότε η παραμετρική εξίσωση της ευθείας A4M θα είναι:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Έτσι, η εξίσωση της ευθείας Α4Μ έχει τη μορφή x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

Η ευθεία A3N πρέπει να είναι παράλληλη προς την ευθεία A1A2, επομένως το διάνυσμα κατεύθυνσης της πρέπει να είναι παράλληλο με το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας A1A2. Το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής A1A2 είναι ίσο με:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Τότε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής A3N θα πρέπει επίσης να είναι ίσο με -2i + 3j. Η γραμμή A3N διέρχεται από το σημείο A3(4;6;11), επομένως η εξίσωσή της μπορεί να γραφτεί σε παραμετρική μορφή:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

Έτσι, η εξίσωση της ευθείας γραμμής A3N έχει τη μορφή x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 11.

Το κανονικό διάνυσμα προς το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Α4 και είναι κάθετο στην ευθεία Α1Α2 πρέπει να είναι παράλληλο προς το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας Α1Α2. Το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής A1A2 είναι ίσο με

Το προϊόν "Option 17 IDZ 3.1" είναι ένα ψηφιακό προϊόν που προορίζεται για μαθητές που σπουδάζουν μαθηματικά. Περιέχει εργασίες και απαντήσεις σε προβλήματα από την ενότητα «Ολοκληρωμένα» του ανώτερου μαθήματος των μαθηματικών.

Ο σχεδιασμός του προϊόντος είναι κατασκευασμένος σε μια όμορφη μορφή html, η οποία σας επιτρέπει να βλέπετε και να μελετάτε εύκολα το υλικό. Όταν αγοράζετε ένα προϊόν, θα έχετε πρόσβαση σε ένα αρχείο με εργασίες και απαντήσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για ανεξάρτητη εργασία όσο και για προετοιμασία για την εξέταση.

Το προϊόν "Option 17 IDZ 3.1" είναι μια εξαιρετική λύση για μαθητές που θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις και τις δεξιότητές τους στα μαθηματικά. Χάρη στη βολική μορφή, μπορείτε εύκολα και γρήγορα να ολοκληρώσετε όλες τις εργασίες και να επαληθεύσετε τις γνώσεις σας.

Το προϊόν "Option 17 IDZ 3.1" είναι ένα ψηφιακό προϊόν που περιέχει εργασίες και απαντήσεις σε προβλήματα από την ενότητα "Integrals" του ανώτερου μαθήματος των μαθηματικών. Ο σχεδιασμός του προϊόντος είναι κατασκευασμένος σε μια όμορφη μορφή html, η οποία σας επιτρέπει να βλέπετε και να μελετάτε εύκολα το υλικό. Όταν αγοράζετε ένα προϊόν, θα έχετε πρόσβαση σε ένα αρχείο με εργασίες και απαντήσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για ανεξάρτητη εργασία όσο και για προετοιμασία για την εξέταση.

Τώρα ας προχωρήσουμε στην επίλυση των προβλημάτων από την περιγραφή:

α) Εξίσωση του επιπέδου A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

β) Εξίσωση της γραμμής A1A2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​‎z = 5.

γ) Διάνυσμα κατεύθυνσης ευθείας Α4Μ: n' = (22i - 3j). Εξίσωση ευθείας A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

δ) Διάνυσμα διεύθυνσης ευθείας Α3Ν: u = -2i + 3j. Εξίσωση της γραμμής A3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 11.

ε) Το κανονικό διάνυσμα προς το επιθυμητό επίπεδο πρέπει να είναι παράλληλο προς το διάνυσμα διεύθυνσης της ευθείας A1A2, δηλαδή -2i + 3j. Επίπεδη εξίσωση: -2x + 3y - 18z + c = 0. Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου A4(6;9;3), παίρνουμε c = -45. Έτσι, η εξίσωση του επιθυμητού επιπέδου είναι: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

στ) Η γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής A1A4 και του επιπέδου A1A2A3 μπορεί να βρεθεί ως η γωνία μεταξύ του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής A1A4 και του κανονικού διανύσματος του επιπέδου A1A2A3. Διάνυσμα κατεύθυνσης ευθείας A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Κανονικό διάνυσμα στο επίπεδο A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Τότε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ της ευθείας και του επιπέδου είναι ίσο με: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733.

ζ) Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του επιπέδου συντεταγμένων Oxy και του επιπέδου A1A2A3 είναι ίσο με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του κανονικού διανύσματος του επιπέδου A1A2A3 και της διεύθυνσης του άξονα Ox. Κανονικό διάνυσμα στο επίπεδο A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Διεύθυνση του άξονα Ox: i. Τότε το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας είναι ίσο με: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

Νο. 2.17. Το διάνυσμα κατεύθυνσης του τμήματος Μ1Μ2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). Το κανονικό διάνυσμα προς το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο M και είναι κάθετο στο τμήμα M1M2 ισούται με το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος κατεύθυνσης του τμήματος και του διανύσματος κάθετου στο επίπεδο: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Έτσι, η εξίσωση του επιθυμητού επιπέδου είναι: -2x + 4y - 4z + d = 0. Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου M (-1;2;3), παίρνουμε d = 2. Έτσι, η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Μ και είναι κάθετο στο τμήμα Μ1Μ2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

***

Το προϊόν σε αυτήν την περίπτωση είναι η εργασία IDZ 3.1 για τη γεωμετρία, η οποία περιέχει αρκετές δευτερεύουσες εργασίες.

Στην πρώτη υποεργασία, πρέπει να δημιουργήσετε εξισώσεις για ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία (A1, A2, A3), καθώς και μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από δύο από αυτά τα σημεία (A1, A2). Πρέπει επίσης να βρείτε μια ευθεία γραμμή (A4M) κάθετη στο πρώτο επίπεδο και να διέρχεται από το τέταρτο δεδομένο σημείο (A4), καθώς και μια ευθεία γραμμή (A3N) παράλληλη στη δεύτερη ευθεία (A1A2). Στην τελευταία υποεργασία, πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ της πρώτης ευθείας (A1A4) και του πρώτου επιπέδου (A1A2A3), καθώς και το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του επιπέδου που περιέχει το δεδομένο τμήμα (M1M2) και του επιπέδου συντεταγμένων Oxy .

Στη δεύτερη υποεργασία, πρέπει να δημιουργήσετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο (M) και είναι κάθετο σε ένα δεδομένο τμήμα (M1M2).

Στην τρίτη υποεργασία, πρέπει να δείξετε ότι μια δεδομένη ευθεία είναι παράλληλη σε ένα δεδομένο επίπεδο και επίσης ότι βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο.

***

1. Αποκτήστε πρόσβαση στο ψηφιακό περιεχόμενο γρήγορα και άνετα, χωρίς να χρειάζεται να περιμένετε για παράδοση.
2. Η ποιότητα του ψηφιακού προϊόντος ήταν υψηλή και απόλυτα συνεπής με την περιγραφή.
3. Είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιείτε ένα ψηφιακό προϊόν αντί για ένα παρόμοιο φυσικό, καθώς δεν πιάνει χώρο και δεν φθείρεται.
4. Ήταν ωραίο να λαμβάνετε ένα ψηφιακό προϊόν με καλή έκπτωση σε σύγκριση με την τιμή ενός φυσικού αντιγράφου.
5. Μου άρεσε πολύ που μόλις αγόραζα ένα ψηφιακό προϊόν, μπορούσα να το χρησιμοποιήσω σε πολλές συσκευές χωρίς να πληρώσω επιπλέον.
6. Παρέλαβε το ψηφιακό προϊόν άμεσα χωρίς καθυστερήσεις ή προβλήματα.
7. Το ψηφιακό προϊόν ήταν εύκολο στη χρήση και ανταποκρίθηκε πλήρως στις προσδοκίες μου.

Ιδιαιτερότητες:

Ένα πολύ εύχρηστο ψηφιακό προϊόν που βοηθά στην εξοικονόμηση χρόνου και πόρων.

Η λήψη και η εγκατάσταση του προϊόντος ήταν πολύ γρήγορη και χωρίς προβλήματα.

Μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να έχουν πρόσβαση σε ποιοτικό υλικό ανά πάσα στιγμή.

Η επιλογή IPD 17 3.1 είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα του πώς ένα ψηφιακό προϊόν μπορεί να κάνει τη ζωή ενός μαθητή ευκολότερη.

Μου άρεσε πολύ η ιδέα της πρόσβασης σε υλικά σε ηλεκτρονική μορφή - είναι φιλικό προς το περιβάλλον και βολικό.

Το κόστος ενός ψηφιακού προϊόντος είναι χαμηλότερο από αυτό του τυπωμένου αντίστοιχου, καθιστώντας το πιο προσιτό.

Πολύ βολική λειτουργία αναζήτησης και γρήγορη μετάβαση στις απαραίτητες πληροφορίες.

Η επιλογή 17 του IPD 3.1 είναι μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν ποιοτικό εκπαιδευτικό υλικό χωρίς επιπλέον κόστος.

Ένα ψηφιακό προϊόν διευκολύνει την εργασία με αντικείμενα και υλικά χωρίς να ανησυχείτε για την ασφάλεια των έντυπων αντιγράφων.

Η επιλογή 17 του IPD 3.1 είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα του πώς ένα ψηφιακό προϊόν μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές στις σπουδές τους και να εξοικονομήσει χρόνο στην αναζήτηση υλικού.