Mulighed 17 IDZ 3.1

№1.17

Givet fire punkter A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Lav ligninger:

1. fly A1A2A3;
2. lige A1A2;
3. lige linje A4M, vinkelret på plan A1A2A3;
4. lige linje A3N parallel med lige linje A1A2;
5. plan, der går gennem punkt A4, vinkelret på lige linje A1A2.

Beregn:

1. sinus af vinklen mellem den rette linje A1A4 og plan A1A2A3;
2. cosinus af vinklen mellem koordinatplanet Oxy og planet A1A2A3;

Svar:

1. For at finde ligningen for et plan, der passerer gennem tre punkter, bruger vi formlen:

(x - x₁)(y₂ - y₁)(z₃ - z₁) + (og - og₁)(z₂ - z₁)(x₃ - x₁) + (z - z₁)(x₂ - x₁)(y₃ - y₁) - (z - z₁)(y₂ - y₁)(x₃ - x₁) - (og - og₁)(x₂ - x₁)(z₃ - z₁) - (x - x₁)(z₂ - z₁)(y₃ - y₁) = 0

Ved at erstatte punkternes koordinater får vi:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

For at forenkle:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Således er ligningen for planet A1A2A3 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

For at finde ligningen for en linje, der går gennem to punkter, bruger vi den parametriske ligning for en linje:

x = x₁ + t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t(y₂ - y₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

Ved at erstatte koordinaterne for punkterne A1(6;6;5) og A2(4;9;5), får vi:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Således har ligningen for linje A1A2 formen x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

For at finde ligningen for en linje vinkelret på et plan, der går gennem tre punkter, bruger vi normalvektoren til denne plan. Normalvektoren til planen A1A2A3 findes som vektorproduktet af dens to retningsvektorer:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

Normalvektoren til planen A1A2A3 har således formen n = (-3i - 22j + 12k).

Linje A4M skal passere gennem punkt A4(6;9;3) og være vinkelret på planet A1A2A3, derfor skal dens retningsvektor være parallel med normalvektoren til dette plan. Retningsvektoren kan vælges som n' = (22i - 3j) (vektorens retning er modsat retningen af ​​n, således at den rette linje går fra punkt A4). Så vil den parametriske ligning for lige linje A4M være:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Således har ligningen for linje A4M formen x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

Linje A3N skal være parallel med linje A1A2, derfor skal dens retningsvektor være parallel med retningsvektoren for linje A1A2. Retningsvektoren for den rette linje A1A2 er lig med:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Så skal retningsvektoren for den lige linje A3N også være lig med -2i + 3j. Linje A3N går gennem punkt A3(4;6;11), så dens ligning kan skrives på parametrisk form:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

Således har ligningen for den lige linje A3N formen x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

Normalvektoren til det plan, der går gennem punkt A4 og vinkelret på linjen A1A2, skal være parallel med retningsvektoren for linjen A1A2. Retningsvektoren for den rette linje A1A2 er lig med

Produktet "Option 17 IDZ 3.1" er et digitalt produkt beregnet til studerende, der studerer matematik. Den indeholder opgaver og svar på opgaver fra afsnittet "Integraler" på det videregående matematikkursus.

Produktdesignet er lavet i et smukt html-format, som giver dig mulighed for bekvemt at se og studere materialet. Ved køb af et produkt får du adgang til en fil med opgaver og svar, der både kan bruges til selvstændigt arbejde og til eksamensforberedelse.

Produktet "Option 17 IDZ 3.1" er en fremragende løsning for studerende, der ønsker at forbedre deres viden og færdigheder i matematik. Takket være det praktiske format kan du nemt og hurtigt udføre alle opgaverne og verificere din viden.

Produktet "Option 17 IDZ 3.1" er et digitalt produkt, der indeholder opgaver og svar på opgaver fra afsnittet "Integraler" på det videregående matematikkursus. Produktdesignet er lavet i et smukt html-format, som giver dig mulighed for bekvemt at se og studere materialet. Ved køb af et produkt får du adgang til en fil med opgaver og svar, der både kan bruges til selvstændigt arbejde og til eksamensforberedelse.

Lad os nu gå videre til at løse problemerne fra beskrivelsen:

a) Ligning for planet A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

b) Ligning for linje A1A2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

c) Retningsvektor for lige linje A4M: n' = (22i - 3j). Ligning for linje A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Retningsvektor for lige linje A3N: u = -2i + 3j. Ligning for linje A3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

e) Normalvektoren til det ønskede plan skal være parallel med retningsvektoren for den rette linje A1A2, det vil sige -2i + 3j. Planligning: -2x + 3y - 18z + c = 0. Ved at erstatte koordinaterne for punkt A4(6;9;3), får vi c = -45. Således er ligningen for det ønskede plan: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

f) Vinklen mellem ret linje A1A4 og plan A1A2A3 kan findes som vinklen mellem retningsvektoren for ret linje A1A4 og normalvektoren for plan A1A2A3. Retningsvektor for lige linje A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Normalvektor til planet A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Så er sinus af vinklen mellem linjen og planen lig med: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733.

g) Cosinus for vinklen mellem koordinatplanet Oxy og planet A1A2A3 er lig med cosinus for vinklen mellem normalvektoren af ​​planet A1A2A3 og retningen af ​​Ox-aksen. Normalvektor til planet A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Oxe-aksens retning: i. Så er cosinus af vinklen mellem dem lig med: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

Nr. 2.17. Retningsvektoren for segmentet M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). Normalvektoren til det plan, der går gennem punktet M og vinkelret på segmentet M1M2 er lig med vektorproduktet af segmentets retningsvektor og vektoren vinkelret på planet: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Således er ligningen for den ønskede plan: -2x + 4y - 4z + d = 0. Ved at erstatte koordinaterne for punktet M (-1;2;3), opnår vi d = 2. Således er planens ligning passerer gennem punktet M og vinkelret på segmentet M1M2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

***

Produktet i dette tilfælde er opgaven IDZ 3.1 om geometri, som indeholder flere delopgaver.

I den første delopgave skal du lave ligninger for et plan, der går gennem tre givne punkter (A1, A2, A3), samt en ret linje, der går gennem to af disse punkter (A1, A2). Du skal også finde en ret linje (A4M) vinkelret på det første plan og passerer gennem det fjerde givne punkt (A4), samt en ret linje (A3N) parallel med den anden rette linje (A1A2). I den sidste delopgave skal du finde vinklen mellem den første rette linie (A1A4) og den første plan (A1A2A3), samt cosinus for vinklen mellem planet, der indeholder det givne segment (M1M2) og koordinatplanet Oxy .

I den anden delopgave skal du lave en ligning for et plan, der går gennem et givet punkt (M) og vinkelret på et givet segment (M1M2).

I den tredje delopgave skal du vise, at en given linje er parallel med et givent plan, og også at den ligger i dette plan.

***

1. Få adgang til digitalt indhold hurtigt og bekvemt uden at skulle vente på levering.
2. Kvaliteten af ​​det digitale produkt var høj og helt i overensstemmelse med beskrivelsen.
3. Det er meget bekvemt at bruge et digitalt produkt i stedet for et lignende fysisk, da det ikke optager plads og ikke forringes.
4. Det var rart at modtage et digitalt produkt med en god rabat i forhold til prisen på den fysiske modpart.
5. Jeg kunne virkelig godt lide, at når jeg først købte et digitalt produkt, kunne jeg bruge det på flere enheder uden at betale ekstra.
6. Modtog det digitale produkt med det samme uden forsinkelser eller problemer.
7. Det digitale produkt var nemt at bruge og levede fuldt ud op til mine forventninger.

Ejendommeligheder:

Et meget praktisk digitalt produkt, der hjælper med at spare tid og ressourcer.

Download og installation af produktet var meget hurtig og uden problemer.

Et fremragende valg for dem, der vil have adgang til kvalitetsmateriale til enhver tid.

IPD Option 17 3.1 er et godt eksempel på, hvordan et digitalt produkt kan gøre en studerendes liv lettere.

Jeg kunne virkelig godt lide ideen om adgang til materialer i elektronisk form - det er miljøvenligt og praktisk.

Prisen på et digitalt produkt er lavere end dets trykte modstykke, hvilket gør det mere overkommeligt.

Meget praktisk søgefunktion og hurtig overgang til den nødvendige information.

Mulighed 17 i IPD 3.1 er et glimrende valg for dem, der ønsker kvalitetsundervisningsmateriale uden ekstra omkostninger.

Et digitalt produkt gør det nemt at arbejde med artikler og materialer uden at bekymre sig om sikkerheden ved papirkopier.

Mulighed 17 i IPD 3.1 er et godt eksempel på, hvordan et digitalt produkt kan hjælpe studerende i deres studier og spare tid på at søge efter materialer.