Alternativ 17 IDZ 3.1

№1.17

Gitt fire punkter A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Lag ligninger:

1. planene A1A2A3;
2. rett A1A2;
3. rett linje A4M, vinkelrett på plan A1A2A3;
4. rett linje A3N parallelt med rett linje A1A2;
5. plan som går gjennom punkt A4, vinkelrett på rett linje A1A2.

Regne ut:

1. sinus av vinkelen mellom rett linje A1A4 og planet A1A2A3;
2. cosinus av vinkelen mellom koordinatplanet Oxy og planet A1A2A3;

Svar:

1. For å finne ligningen til et plan som går gjennom tre punkter, bruker vi formelen:

(x - x₁)(y₂ - y₁)(z₃ - z₁) + (og - og₁)(z₂ - z₁)(x₃ - x₁) + (z - z₁)(x₂ - x₁)(y₃ - y₁) - (z - z₁)(y₂ - y₁)(x₃ - x₁) - (og - og₁)(x₂ - x₁)(z₃ - z₁) - (x - x₁)(z₂ - z₁)(y₃ - y₁) = 0

Ved å erstatte koordinatene til punktene får vi:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

For å forenkle:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Dermed er ligningen til planet A1A2A3 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

For å finne ligningen til en linje som går gjennom to punkter, bruker vi den parametriske ligningen til en linje:

x = x₁ + t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t(y₂ - y₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

Ved å erstatte koordinatene til punktene A1(6;6;5) og A2(4;9;5), får vi:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Således har ligningen til linje A1A2 formen x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

For å finne ligningen til en linje vinkelrett på et plan som går gjennom tre punkter, bruker vi normalvektoren til dette planet. Normalvektoren til planet A1A2A3 finnes som vektorproduktet av de to retningsvektorene:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

Dermed har normalvektoren til planet A1A2A3 formen n = (-3i - 22j + 12k).

Linje A4M må gå gjennom punktet A4(6;9;3) og være vinkelrett på planet A1A2A3, derfor må retningsvektoren være parallell med normalvektoren til dette planet. Retningsvektoren kan velges som n' = (22i - 3j) (retningen til vektoren er motsatt av retningen til n, slik at den rette linjen går fra punkt A4). Da vil den parametriske ligningen til rett linje A4M være:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Således har ligningen til linje A4M formen x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

Linje A3N må være parallell med linje A1A2, derfor må retningsvektoren være parallell med retningsvektoren til linje A1A2. Retningsvektoren til rett linje A1A2 er lik:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Da skal retningsvektoren til rett linje A3N også være lik -2i + 3j. Linje A3N går gjennom punkt A3(4;6;11), så ligningen kan skrives i parametrisk form:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

Således har ligningen for rett linje A3N formen x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

Normalvektoren til planet som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på linjen A1A2 må være parallell med retningsvektoren til linjen A1A2. Retningsvektoren til rett linje A1A2 er lik

Produktet "Alternativ 17 IDZ 3.1" er et digitalt produkt beregnet på studenter som studerer matematikk. Den inneholder oppgaver og svar på oppgaver fra "Integraler"-delen av høyere matematikkkurs.

Produktdesignet er laget i et vakkert html-format, som lar deg enkelt se og studere materialet. Ved kjøp av et produkt vil du få tilgang til en fil med oppgaver og svar som kan brukes både til selvstendig arbeid og til forberedelse til eksamen.

Produktet "Option 17 IDZ 3.1" er en utmerket løsning for studenter som ønsker å forbedre sine kunnskaper og ferdigheter i matematikk. Takket være det praktiske formatet kan du enkelt og raskt fullføre alle oppgavene og verifisere kunnskapen din.

Produktet "Alternativ 17 IDZ 3.1" er et digitalt produkt som inneholder oppgaver og svar på oppgaver fra "Integraler"-delen av høyere matematikkkurs. Produktdesignet er laget i et vakkert html-format, som lar deg enkelt se og studere materialet. Ved kjøp av et produkt vil du få tilgang til en fil med oppgaver og svar som kan brukes både til selvstendig arbeid og til forberedelse til eksamen.

La oss nå gå videre til å løse problemene fra beskrivelsen:

a) Ligning av planet A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

b) Ligning av linje A1A2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

c) Retningsvektor for rett linje A4M: n' = (22i - 3j). Ligning av linje A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Retningsvektor for rett linje A3N: u = -2i + 3j. Ligning av linje A3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

e) Normalvektoren til ønsket plan må være parallell med retningsvektoren til rett linje A1A2, det vil si -2i + 3j. Planligning: -2x + 3y - 18z + c = 0. Ved å erstatte koordinatene til punkt A4(6;9;3), får vi c = -45. Dermed er ligningen til det ønskede planet: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

e) Vinkelen mellom rett linje A1A4 og plan A1A2A3 kan finnes som vinkelen mellom retningsvektoren til rett linje A1A4 og normalvektoren til plan A1A2A3. Retningsvektor for rett linje A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Normalvektor til planet A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Da er sinusen til vinkelen mellom linjen og planet lik: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733.

g) Cosinus til vinkelen mellom koordinatplanet Oxy og planet A1A2A3 er lik cosinus til vinkelen mellom normalvektoren til planet A1A2A3 og retningen til Ox-aksen. Normalvektor til planet A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Retning av okseaksen: i. Da er cosinus til vinkelen mellom dem lik: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

Nr. 2.17. Retningsvektoren til segmentet M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). Normalvektoren til planet som går gjennom punktet M og vinkelrett på segmentet M1M2 er lik vektorproduktet av retningsvektoren til segmentet og vektoren vinkelrett på planet: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Dermed er likningen til det ønskede planet: -2x + 4y - 4z + d = 0. Ved å erstatte koordinatene til punktet M (-1;2;3), får vi d = 2. Dermed er likningen til planet som går gjennom punktet M og vinkelrett på segmentet M1M2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

***

Produktet i dette tilfellet er oppgaven IDZ 3.1 om geometri, som inneholder flere deloppgaver.

I den første deloppgaven må du lage ligninger for et plan som går gjennom tre gitte punkter (A1, A2, A3), samt en rett linje som går gjennom to av disse punktene (A1, A2). Du må også finne en rett linje (A4M) vinkelrett på det første planet og som går gjennom det fjerde gitte punktet (A4), samt en rett linje (A3N) parallelt med den andre rette linjen (A1A2). I den siste deloppgaven må du finne vinkelen mellom den første linjen (A1A4) og det første planet (A1A2A3), samt cosinus til vinkelen mellom planet som inneholder det gitte segmentet (M1M2) og koordinatplanet Oxy.

I den andre deloppgaven må du lage en ligning for et plan som går gjennom et gitt punkt (M) og vinkelrett på et gitt segment (M1M2).

I den tredje deloppgaven må du vise at en gitt linje er parallell med et gitt plan, og også at den ligger i dette planet.

***

1. Få tilgang til digitalt innhold raskt og enkelt, uten å måtte vente på levering.
2. Kvaliteten på det digitale produktet var høy og helt i samsvar med beskrivelsen.
3. Det er veldig praktisk å bruke et digitalt produkt i stedet for et lignende fysisk, siden det ikke tar plass og ikke forringes.
4. Det var hyggelig å få et digitalt produkt til en god rabatt sammenlignet med prisen på en fysisk motpart.
5. Jeg likte at når jeg kjøpte et digitalt produkt, kunne jeg bruke det på flere enheter uten å betale ekstra.
6. Mottok det digitale produktet umiddelbart uten forsinkelser eller problemer.
7. Det digitale produktet var enkelt å bruke og svarte til forventningene mine.

Egendommer:

Et veldig hendig digitalt produkt som hjelper med å spare tid og ressurser.

Nedlastingen og installasjonen av produktet gikk veldig raskt og uten problemer.

Et utmerket valg for de som vil ha tilgang til kvalitetsmateriale når som helst.

IPD Option 17 3.1 er et flott eksempel på hvordan et digitalt produkt kan gjøre livet til en student enklere.

Jeg likte ideen om tilgang til materialer i elektronisk form - det er miljøvennlig og praktisk.

Kostnaden for et digitalt produkt er lavere enn dets trykte motpart, noe som gjør det rimeligere.

Veldig praktisk søkefunksjon og rask overgang til nødvendig informasjon.

Alternativ 17 i IPD 3.1 er et utmerket valg for de som ønsker kvalitetslæringsmateriell uten ekstra kostnad.

Et digitalt produkt gjør det enkelt å jobbe med artikler og materialer uten å bekymre seg for sikkerheten til papirkopier.

Alternativ 17 i IPD 3.1 er et godt eksempel på hvordan et digitalt produkt kan hjelpe studenter i studiene og spare tid på å søke etter materialer.