Opcja 17 IDZ 3.1

№1.17

Biorąc pod uwagę cztery punkty A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Ułóż równania:

1. samoloty A1A2A3;
2. proste A1A2;
3. linia prosta A4M, prostopadła do płaszczyzny A1A2A3;
4. linia prosta A3N równoległa do linii prostej A1A2;
5. płaszczyzna przechodząca przez punkt A4, prostopadła do prostej A1A2.

Oblicz:

1. sinus kąta pomiędzy prostą A1A4 a płaszczyzną A1A2A3;
2. cosinus kąta pomiędzy płaszczyzną współrzędnych Oxy a płaszczyzną A1A2A3;

Odpowiedź:

1. Aby znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty, korzystamy ze wzoru:

(x-x₁)(y₂ - y₁)(z₃ - z₁) + (i - i₁)(z₂ - z₁)(X₃ - X₁) + (z - z₁)(X₂ - X₁)(y₃ - y₁) - (z - z₁)(y₂ - y₁)(X₃ - X₁) - (i i₁)(X₂ - X₁)(z₃ - z₁) - (x - X₁)(z₂ - z₁)(y₃ - y₁) = 0

Podstawiając współrzędne punktów otrzymujemy:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

Upraszczać:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Zatem równanie płaszczyzny A1A2A3 wynosi 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

Aby znaleźć równanie linii przechodzącej przez dwa punkty, używamy równania parametrycznego linii:

x = x₁ + t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t(y₂ - y₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

Podstawiając współrzędne punktów A1(6;6;5) i A2(4;9;5) otrzymujemy:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Zatem równanie linii A1A2 ma postać x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

Aby znaleźć równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty, używamy wektora normalnego do tej płaszczyzny. Wektor normalny do płaszczyzny A1A2A3 jest iloczynem wektorowym jej dwóch wektorów kierunkowych:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

Zatem wektor normalny do płaszczyzny A1A2A3 ma postać n = (-3i - 22j + 12k).

Linia A4M musi przechodzić przez punkt A4(6;9;3) i być prostopadła do płaszczyzny A1A2A3, zatem jej wektor kierunkowy musi być równoległy do ​​wektora normalnego do tej płaszczyzny. Wektor kierunkowy można wybrać jako n' = (22i - 3j) (kierunek wektora jest przeciwny do kierunku n, tak że prosta wychodzi z punktu A4). Wtedy równanie parametryczne prostej A4M będzie wyglądało następująco:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Zatem równanie prostej A4M ma postać x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

Linia A3N musi być równoległa do linii A1A2, zatem jej wektor kierunkowy musi być równoległy do ​​wektora kierunku linii A1A2. Wektor kierunkowy prostej A1A2 jest równy:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Wtedy wektor kierunkowy prostej A3N również powinien być równy -2i + 3j. Prosta A3N przechodzi przez punkt A3(4;6;11), więc jej równanie można zapisać w postaci parametrycznej:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

Zatem równanie prostej A3N ma postać x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

Wektor normalny do płaszczyzny przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do linii A1A2 musi być równoległy do ​​wektora kierunkowego linii A1A2. Wektor kierunkowy linii prostej A1A2 jest równy

Produkt „Opcja 17 IDZ 3.1” jest produktem cyfrowym przeznaczonym dla studentów studiujących matematykę. Zawiera zadania i odpowiedzi do zadań z działu „Cały” kursu matematyki wyższej.

Projekt produktu wykonany jest w pięknym formacie HTML, co ułatwia przeglądanie i studiowanie materiału. Kupując produkt otrzymasz dostęp do pliku z zadaniami i odpowiedziami, który możesz wykorzystać zarówno do samodzielnej pracy, jak i przygotowania do egzaminu.

Produkt „Opcja 17 IDZ 3.1” to doskonałe rozwiązanie dla uczniów chcących doskonalić swoją wiedzę i umiejętności z zakresu matematyki. Dzięki wygodnej formie łatwo i szybko wykonasz wszystkie zadania oraz zweryfikujesz swoją wiedzę.

Produkt „Opcja 17 IDZ 3.1” jest produktem cyfrowym zawierającym zadania i odpowiedzi na zadania z działu „Cały” wyższego kursu matematyki. Projekt produktu wykonany jest w pięknym formacie HTML, co ułatwia przeglądanie i studiowanie materiału. Kupując produkt otrzymasz dostęp do pliku z zadaniami i odpowiedziami, który możesz wykorzystać zarówno do samodzielnej pracy, jak i przygotowania do egzaminu.

Przejdźmy teraz do rozwiązania problemów z opisu:

a) Równanie płaszczyzny A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

b) Równanie prostej A1A2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

c) Wektor kierunkowy prostej A4M: n' = (22i - 3j). Równanie prostej A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Wektor kierunku prostej A3N: u = -2i + 3j. Równanie prostej A3N: x = 4 – 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 11.

e) Wektor normalny do żądanej płaszczyzny musi być równoległy do ​​wektora kierunkowego prostej A1A2, czyli -2i + 3j. Równanie płaszczyzny: -2x + 3y - 18z + c = 0. Podstawiając współrzędne punktu A4(6;9;3) otrzymujemy c = -45. Zatem równanie pożądanej płaszczyzny to: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

f) Kąt pomiędzy prostą A1A4 i płaszczyzną A1A2A3 można znaleźć jako kąt pomiędzy wektorem kierunkowym prostej A1A4 i wektorem normalnym płaszczyzny A1A2A3. Wektor kierunkowy prostej A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Wektor normalny do płaszczyzny A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Wtedy sinus kąta między prostą a płaszczyzną jest równy: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733.

g) Cosinus kąta pomiędzy płaszczyzną współrzędnych Oxy a płaszczyzną A1A2A3 jest równy cosinusowi kąta pomiędzy wektorem normalnym płaszczyzny A1A2A3 a kierunkiem osi Ox. Wektor normalny do płaszczyzny A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Kierunek osi Wołu: tj. Wtedy cosinus kąta między nimi jest równy: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

Nr 2.17. Wektor kierunkowy odcinka M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). Wektor normalny do płaszczyzny przechodzącej przez punkt M i prostopadłej do odcinka M1M2 jest równy iloczynowi wektora kierunkowego odcinka i wektora prostopadłego do płaszczyzny: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Zatem równanie pożądanej płaszczyzny wynosi: -2x + 4y - 4z + d = 0. Podstawiając współrzędne punktu M (-1;2;3) otrzymujemy d = 2. Zatem równanie płaszczyzny przechodzący przez punkt M i prostopadły do ​​odcinka M1M2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

***

Produktem w tym przypadku jest zadanie IDZ 3.1 dotyczące geometrii, które zawiera kilka podzadań.

W pierwszym podzadaniu należy utworzyć równania dla płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty (A1, A2, A3) oraz prostej przechodzącej przez dwa z tych punktów (A1, A2). Trzeba także znaleźć prostą (A4M) prostopadłą do pierwszej płaszczyzny i przechodzącą przez czwarty dany punkt (A4) oraz prostą (A3N) równoległą do drugiej prostej (A1A2). W ostatnim podzadaniu należy znaleźć kąt pomiędzy pierwszą prostą (A1A4) a pierwszą płaszczyzną (A1A2A3) oraz cosinus kąta pomiędzy płaszczyzną zawierającą dany odcinek (M1M2) a płaszczyzną współrzędnych Oxy.

W drugim podzadaniu należy utworzyć równanie na płaszczyznę przechodzącą przez zadany punkt (M) i prostopadłą do danego odcinka (M1M2).

W trzecim podzadaniu trzeba pokazać, że dana prosta jest równoległa do danej płaszczyzny, a także że leży w tej płaszczyźnie.

***

1. Uzyskaj dostęp do treści cyfrowych szybko i wygodnie, bez konieczności oczekiwania na dostawę.
2. Jakość produktu cyfrowego była wysoka i w pełni zgodna z opisem.
3. Korzystanie z produktu cyfrowego zamiast podobnego fizycznego jest bardzo wygodne, ponieważ nie zajmuje on miejsca i nie ulega zniszczeniu.
4. Miło było otrzymać produkt cyfrowy z dobrą zniżką w porównaniu z ceną fizycznego odpowiednika.
5. Bardzo podobało mi się to, że po zakupie produktu cyfrowego mogłem go używać na wielu urządzeniach bez dodatkowych opłat.
6. Produkt cyfrowy otrzymałem natychmiast, bez żadnych opóźnień i problemów.
7. Produkt cyfrowy był łatwy w obsłudze i w pełni spełnił moje oczekiwania.

Osobliwości:

Bardzo przydatny produkt cyfrowy, który pomaga oszczędzać czas i zasoby.

Pobieranie i instalacja produktu przebiegły bardzo szybko i bez problemów.

Doskonały wybór dla tych, którzy chcą mieć dostęp do wysokiej jakości materiałów w dowolnym momencie.

Opcja IPD 17 3.1 jest doskonałym przykładem tego, jak produkt cyfrowy może ułatwić życie studenta.

Bardzo spodobała mi się idea dostępu do materiałów w formie elektronicznej – jest to przyjazne dla środowiska i wygodne.

Koszt produktu cyfrowego jest niższy niż jego drukowanego odpowiednika, co czyni go bardziej przystępnym cenowo.

Bardzo wygodna funkcja wyszukiwania i szybkie przejście do potrzebnych informacji.

Opcja 17 WRZ 3.1 to doskonały wybór dla tych, którzy chcą wysokiej jakości materiałów do nauki bez dodatkowych kosztów.

Produkt cyfrowy ułatwia pracę z artykułami i materiałami bez obawy o bezpieczeństwo kopii papierowych.

Opcja 17 WRZ 3.1 jest doskonałym przykładem tego, jak produkt cyfrowy może pomóc uczniom w nauce i zaoszczędzić czas na szukaniu materiałów.