Optie 17 IDZ 3.1

№1.17

Gegeven vier punten A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Vergelijkingen opstellen:

1. vliegtuigen A1A2A3;
2. recht A1A2;
3. rechte lijn A4M, loodrecht op vlak A1A2A3;
4. rechte lijn A3N evenwijdig aan rechte lijn A1A2;
5. vlak dat door punt A4 loopt, loodrecht op rechte lijn A1A2.

Berekenen:

1. sinus van de hoek tussen rechte lijn A1A4 en vlak A1A2A3;
2. cosinus van de hoek tussen het coördinaatvlak Oxy en het vlak A1A2A3;

Antwoord:

1. Om de vergelijking te vinden van een vlak dat door drie punten gaat, gebruiken we de formule:

(x-x₁)(j₂ - j₁)(z₃ - z₁) + (en - en₁)(z₂ - z₁)(X₃ - X₁) + (z - z₁)(X₂ - X₁)(j₃ - j₁) - (z - z₁)(j₂ - j₁)(X₃ - X₁) - (en en₁)(X₂ - X₁)(z₃ - z₁) - (x - X₁)(z₂ - z₁)(j₃ - j₁) = 0

Als we de coördinaten van de punten vervangen, krijgen we:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

Versimpelen:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

De vergelijking van het vlak A1A2A3 is dus 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

Om de vergelijking te vinden van een lijn die door twee punten gaat, gebruiken we de parametervergelijking van een lijn:

x = x₁ + t(x₂ - x₁)

j = j₁ + t(j₂ - j₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

Als we de coördinaten van de punten A1(6;6;5) en A2(4;9;5) vervangen, krijgen we:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

De vergelijking van lijn A1A2 heeft dus de vorm x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 5.

Om de vergelijking te vinden van een lijn loodrecht op een vlak dat door drie punten gaat, gebruiken we de normaalvector voor dit vlak. De normaalvector van het vlak A1A2A3 wordt gevonden als het vectorproduct van zijn twee richtingsvectoren:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

De normaalvector naar het vlak A1A2A3 heeft dus de vorm n = (-3i - 22j + 12k).

Lijn A4M moet door punt A4(6;9;3) gaan en loodrecht staan ​​op het vlak A1A2A3, daarom moet de richtingsvector evenwijdig zijn aan de normaalvector van dit vlak. De richtingsvector kan worden gekozen als n' = (22i - 3j) (de richting van de vector is tegengesteld aan de richting van n, zodat de rechte lijn vanuit punt A4 gaat). Dan zal de parametervergelijking van rechte lijn A4M zijn:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

De vergelijking van rechte lijn A4M heeft dus de vorm x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

Lijn A3N moet evenwijdig zijn aan lijn A1A2, daarom moet de richtingsvector evenwijdig zijn aan de richtingsvector van lijn A1A2. De richtingsvector van rechte lijn A1A2 is gelijk aan:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Dan moet de richtingsvector van rechte A3N ook gelijk zijn aan -2i + 3j. Lijn A3N gaat door punt A3(4;6;11), dus de vergelijking ervan kan in parametrische vorm worden geschreven:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

De vergelijking van rechte lijn A3N heeft dus de vorm x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 11.

De normaalvector van het vlak dat door punt A4 gaat en loodrecht op lijn A1A2 staat, moet evenwijdig zijn aan de richtingsvector van lijn A1A2. De richtingsvector van rechte lijn A1A2 is gelijk aan

Het product "Optie 17 IDZ 3.1" is een digitaal product bedoeld voor studenten wiskunde. Het bevat opdrachten en antwoorden op problemen uit het onderdeel "Integralen" van de hogere wiskundecursus.

Het productontwerp is gemaakt in een mooi html-formaat, waardoor u het materiaal gemakkelijk kunt bekijken en bestuderen. Bij aanschaf van een product krijg je toegang tot een bestand met taken en antwoorden die je zowel voor zelfstandig werk als ter voorbereiding op het examen kunt gebruiken.

Het product "Optie 17 IDZ 3.1" is een uitstekende oplossing voor studenten die hun kennis en vaardigheden op het gebied van wiskunde willen verbeteren. Dankzij het handige formaat voltooi je eenvoudig en snel alle taken en verifieer je je kennis.

Het product "Optie 17 IDZ 3.1" is een digitaal product met taken en antwoorden op problemen uit de sectie "Integralen" van de hogere wiskundecursus. Het productontwerp is gemaakt in een mooi html-formaat, waardoor u het materiaal gemakkelijk kunt bekijken en bestuderen. Bij aanschaf van een product krijg je toegang tot een bestand met taken en antwoorden die je zowel voor zelfstandig werk als ter voorbereiding op het examen kunt gebruiken.

Laten we nu verder gaan met het oplossen van de problemen uit de beschrijving:

a) Vergelijking van het vlak A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

b) Vergelijking van lijn A1A2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

c) Richtingsvector van rechte lijn A4M: n' = (22i - 3j). Vergelijking van lijn A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Richtingsvector van rechte lijn A3N: u = -2i + 3j. Vergelijking van lijn A3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

e) De normaalvector naar het gewenste vlak moet evenwijdig zijn aan de richtingsvector van rechte lijn A1A2, dat wil zeggen -2i + 3j. Vlakvergelijking: -2x + 3y - 18z + c = 0. Als we de coördinaten van punt A4(6;9;3) vervangen, krijgen we c = -45. De vergelijking van het gewenste vlak is dus: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

f) De hoek tussen rechte lijn A1A4 en vlak A1A2A3 kan worden gevonden als de hoek tussen de richtingsvector van rechte lijn A1A4 en de normaalvector van vlak A1A2A3. Richtingsvector van rechte lijn A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Normaalvector voor het vlak A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Dan is de sinus van de hoek tussen de lijn en het vlak gelijk aan: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733.

g) De cosinus van de hoek tussen het coördinaatvlak Oxy en het vlak A1A2A3 is gelijk aan de cosinus van de hoek tussen de normaalvector van het vlak A1A2A3 en de richting van de Ox-as. Normaalvector voor het vlak A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Richting van de Ox-as: i. Dan is de cosinus van de hoek ertussen gelijk aan: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

Nr. 2.17. De richtingsvector van het segment M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). De normaalvector van het vlak dat door het punt M gaat en loodrecht op het segment M1M2 staat, is gelijk aan het vectorproduct van de richtingsvector van het segment en de vector loodrecht op het vlak: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). De vergelijking van het gewenste vlak is dus: -2x + 4y - 4z + d = 0. Door de coördinaten van het punt M (-1;2;3) te vervangen, verkrijgen we d = 2. Dus de vergelijking van het vlak die door het punt M gaat en loodrecht op het segment M1M2 staat: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

***

Het product is in dit geval de taak IDZ 3.1 over geometrie, die verschillende subtaken bevat.

In de eerste subtaak moet je vergelijkingen maken voor een vlak dat door drie gegeven punten gaat (A1, A2, A3), evenals voor een rechte lijn die door twee van deze punten gaat (A1, A2). Je moet ook een rechte lijn (A4M) vinden die loodrecht op het eerste vlak staat en door het vierde gegeven punt (A4) gaat, evenals een rechte lijn (A3N) evenwijdig aan de tweede rechte lijn (A1A2). In de laatste subtaak moet je de hoek vinden tussen de eerste lijn (A1A4) en het eerste vlak (A1A2A3), evenals de cosinus van de hoek tussen het vlak dat het gegeven segment bevat (M1M2) en het coördinatenvlak Oxy.

In de tweede subtaak moet je een vergelijking maken voor een vlak dat door een bepaald punt (M) gaat en loodrecht staat op een bepaald segment (M1M2).

In de derde subtaak moet je aantonen dat een bepaalde lijn evenwijdig is aan een bepaald vlak, en ook dat deze in dit vlak ligt.

***

1. Krijg snel en gemakkelijk toegang tot digitale inhoud, zonder te hoeven wachten op levering.
2. De kwaliteit van het digitale product was hoog en kwam volledig overeen met de beschrijving.
3. Het is erg handig om een ​​digitaal product te gebruiken in plaats van een soortgelijk fysiek product, omdat het geen ruimte in beslag neemt en niet verslechtert.
4. Het was leuk om een ​​digitaal product te ontvangen met een goede korting in vergelijking met de prijs van de fysieke tegenhanger.
5. Ik vond het erg leuk dat ik, zodra ik een digitaal product had gekocht, het op meerdere apparaten kon gebruiken zonder extra te betalen.
6. Ik heb het digitale product onmiddellijk ontvangen zonder enige vertraging of problemen.
7. Het digitale product was gemakkelijk te gebruiken en voldeed volledig aan mijn verwachtingen.

Eigenaardigheden:

Een zeer handig digitaal product dat helpt bij het besparen van tijd en middelen.

Het downloaden en installeren van het product ging erg snel en zonder problemen.

Een uitstekende keuze voor diegenen die op elk moment toegang willen hebben tot kwaliteitsmateriaal.

IPD-optie 17 3.1 is een goed voorbeeld van hoe een digitaal product het leven van een student gemakkelijker kan maken.

Ik vond het idee van toegang tot materialen in elektronische vorm erg leuk - het is milieuvriendelijk en handig.

De kosten van een digitaal product zijn lager dan die van zijn gedrukte tegenhanger, waardoor het betaalbaarder wordt.

Zeer handige zoekfunctie en snelle overgang naar de benodigde informatie.

Optie 17 van de IPD 3.1 is een uitstekende keuze voor diegenen die zonder extra kosten kwaliteitsvol leermateriaal willen.

Een digitaal product maakt het gemakkelijk om met artikelen en materialen te werken zonder dat u zich zorgen hoeft te maken over de veiligheid van papieren exemplaren.

Optie 17 van de IPD 3.1 is een goed voorbeeld van hoe een digitaal product studenten kan helpen bij hun studie en tijd kan besparen bij het zoeken naar materialen.