Вариант 17 IDZ 3.1

№1.17

Дадени са четири точки A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Съставете уравнения:

1. равнини A1A2A3;
2. прав A1A2;
3. права A4M, перпендикулярна на равнина A1A2A3;
4. права линия A3N, успоредна на права линия A1A2;
5. равнина, минаваща през точка A4, перпендикулярна на права A1A2.

Изчисли:

1. синус на ъгъла между права A1A4 и равнина A1A2A3;
2. косинус на ъгъла между координатната равнина Oxy и равнината A1A2A3;

Решение:

1. За да намерим уравнението на равнина, минаваща през три точки, използваме формулата:

(x - х₁)(г₂ - г₁)(z₃ - з₁) + (и - и₁)(z₂ - з₁)(х₃ - х₁) + (z - з₁)(х₂ - х₁)(г₃ - г₁) - (z - з₁)(г₂ - г₁)(х₃ - х₁) - (и - и₁)(х₂ - х₁)(z₃ - з₁) - (x - x₁)(z₂ - z₁)(г₃ - г₁) = 0

Замествайки координатите на точките, получаваме:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

За да опростя:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Така уравнението на равнината A1A2A3 е 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

За да намерим уравнението на права, минаваща през две точки, използваме параметричното уравнение на права:

х = х₁ + t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t(y₂ - г₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

Замествайки координатите на точки A1(6;6;5) и A2(4;9;5), получаваме:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Така уравнението на линия A1A2 има формата x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

За да намерим уравнението на права, перпендикулярна на равнина, минаваща през три точки, използваме нормалния вектор към тази равнина. Нормалният вектор към равнината A1A2A3 се намира като векторно произведение на двата му насочващи вектора:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

Така нормалният вектор към равнината A1A2A3 има формата n = (-3i - 22j + 12k).

Правата A4M трябва да минава през точка A4(6;9;3) и да е перпендикулярна на равнината A1A2A3, следователно нейният насочващ вектор трябва да е успореден на нормалния вектор към тази равнина. Векторът на посоката може да бъде избран като n' = (22i - 3j) (посоката на вектора е противоположна на посоката на n, така че правата линия излиза от точка A4). Тогава параметричното уравнение на права линия A4M ще бъде:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Така уравнението на права линия A4M има формата x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

Правата A3N трябва да е успоредна на правата A1A2, следователно нейният насочващ вектор трябва да е успореден на насочващия вектор на правата A1A2. Насочващият вектор на правата A1A2 е равен на:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Тогава векторът на посоката на права линия A3N също трябва да бъде равен на -2i + 3j. Правата A3N минава през точка A3(4;6;11), така че нейното уравнение може да бъде написано в параметрична форма:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

Така уравнението на права линия A3N има формата x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

Нормалният вектор към равнината, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на правата A1A2, трябва да бъде успореден на насочващия вектор на правата A1A2. Насочващият вектор на правата A1A2 е равен на

Продуктът "Option 17 IDZ 3.1" е дигитален продукт, предназначен за ученици, изучаващи математика. Съдържа задачи и отговори на задачи от раздел "Интеграли" от курса по висша математика.

Дизайнът на продукта е направен в красив html формат, което го прави удобен за преглед и изучаване на материала. При закупуване на продукт получавате достъп до файл със задачи и отговори, който можете да използвате както за самостоятелна работа, така и за подготовка за изпит.

Продуктът "Option 17 IDZ 3.1" е отлично решение за ученици, които искат да подобрят знанията и уменията си по математика. Благодарение на удобния формат можете лесно и бързо да изпълните всички задачи и да проверите знанията си.

Продуктът "Вариант 17 IDZ 3.1" е дигитален продукт, съдържащ задачи и отговори на задачи от раздел "Интеграли" на курса по висша математика. Дизайнът на продукта е направен в красив html формат, което го прави удобен за преглед и изучаване на материала. При закупуване на продукт получавате достъп до файл със задачи и отговори, който можете да използвате както за самостоятелна работа, така и за подготовка за изпит.

Сега да преминем към решаването на проблемите от описанието:

а) Уравнение на равнината A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

б) Уравнение на линия A1A2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 5.

в) Насочващ вектор на права линия A4M: n' = (22i - 3j). Уравнение на правата A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Насочващ вектор на права A3N: u = -2i + 3j. Уравнение на линията A3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 11.

д) Нормалният вектор към желаната равнина трябва да бъде успореден на насочващия вектор на правата A1A2, което е -2i + 3j. Уравнение на равнината: -2x + 3y - 18z + c = 0. Като заместим координатите на точка A4(6;9;3), получаваме c = -45. Така уравнението на желаната равнина е: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

f) Ъгълът между правата A1A4 и равнината A1A2A3 може да се намери като ъгъла между насочващия вектор на правата A1A4 и нормалния вектор на равнината A1A2A3. Насочващ вектор на права линия A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Нормален вектор към равнината A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Тогава синусът на ъгъла между правата и равнината е равен на: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733.

ж) Косинусът на ъгъла между координатната равнина Oxy и равнината A1A2A3 е равен на косинуса на ъгъла между нормалния вектор на равнината A1A2A3 и посоката на оста Ox. Нормален вектор към равнината A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Посока на оста Ox: i. Тогава косинусът на ъгъла между тях е равен на: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

№ 2.17. Векторът на посоката на сегмента M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). Нормалният вектор към равнината, минаваща през точка M и перпендикулярна на сегмента M1M2, е равен на векторното произведение на насочващия вектор на сегмента и вектора, перпендикулярен на равнината: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Така уравнението на желаната равнина е: -2x + 4y - 4z + d = 0. Замествайки координатите на точката M (-1;2;3), получаваме d = 2. По този начин уравнението на равнината минаваща през точка M и перпендикулярна на отсечката M1M2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

***

Продуктът в случая е задачата IDZ 3.1 по геометрия, която съдържа няколко подзадачи.

В първата подзадача трябва да създадете уравнения за равнина, минаваща през три дадени точки (A1, A2, A3), както и права линия, минаваща през две от тези точки (A1, A2). Трябва също така да намерите права линия (A4M), перпендикулярна на първата равнина и минаваща през четвъртата дадена точка (A4), както и права линия (A3N), успоредна на втората права линия (A1A2). В последната подзадача трябва да намерите ъгъла между първата права (A1A4) и първата равнина (A1A2A3), както и косинуса на ъгъла между равнината, съдържаща дадения сегмент (M1M2) и координатната равнина Oxy.

Във втората подзадача трябва да създадете уравнение за равнина, минаваща през дадена точка (M) и перпендикулярна на даден сегмент (M1M2).

В третата подзадача трябва да покажете, че дадена права е успоредна на дадена равнина, както и че лежи в тази равнина.

***

1. Получете достъп до цифрово съдържание бързо и удобно, без да се налага да чакате доставка.
2. Качеството на дигиталния продукт беше високо и напълно отговаряше на описанието.
3. Много е удобно да използвате цифров продукт вместо подобен физически, тъй като не заема място и не се влошава.
4. Беше приятно да получиш цифров продукт с добра отстъпка в сравнение с цената на физическия аналог.
5. Наистина ми хареса, че след като закупих цифров продукт, мога да го използвам на множество устройства, без да плащам допълнително.
6. Получих дигиталния продукт незабавно без никакви забавяния или проблеми.
7. Дигиталният продукт беше лесен за използване и напълно оправда очакванията ми.

Особености:

Много удобен цифров продукт, който помага за спестяване на време и ресурси.

Изтеглянето и инсталирането на продукта беше много бързо и без проблеми.

Отличен избор за тези, които искат достъп до качествени материали по всяко време.

IPD Option 17 3.1 е чудесен пример за това как дигитален продукт може да улесни живота на ученика.

Много ми хареса идеята за достъп до материали в електронен вид - това е екологично и удобно.

Цената на дигитален продукт е по-ниска от тази на неговия печатен аналог, което го прави по-достъпен.

Много удобна функция за търсене и бърз преход към необходимата информация.

Опция 17 на IPD 3.1 е отличен избор за тези, които искат качествен учебен материал без допълнителни разходи.

Цифровият продукт улеснява работата със статии и материали, без да се притеснявате за безопасността на хартиените копия.

Вариант 17 от IPD 3.1 е чудесен пример за това как дигитален продукт може да помогне на студентите в тяхното обучение и да спести време за търсене на материали.