Opção 17 IDZ 3.1

№1.17

Dados quatro pontos A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Faça equações:

1. aviões A1A2A3;
2. reta A1A2;
3. linha reta A4M, perpendicular ao plano A1A2A3;
4. linha reta A3N paralela à linha reta A1A2;
5. plano que passa pelo ponto A4, perpendicular à reta A1A2.

Calcular:

1. seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3;
2. cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3;

Responder:

1. Para encontrar a equação de um plano que passa por três pontos, usamos a fórmula:

(x-x₁)(s₂ - sim₁)(z₃ - z₁) + (e - e₁)(z₂ - z₁)(x₃ -x₁) + (z - z₁)(x₂ -x₁)(s₃ - sim₁) - (z - z₁)(s₂ - sim₁)(x₃ -x₁) - (e e₁)(x₂ -x₁)(z₃ - z₁) - (x -x₁)(z₂ - z₁)(s₃ - sim₁) = 0

Substituindo as coordenadas dos pontos, obtemos:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

Para simplificar:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Assim, a equação do plano A1A2A3 é 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

Para encontrar a equação de uma reta que passa por dois pontos, usamos a equação paramétrica de uma reta:

x = x₁ +t(x₂ - x₁)

s = s₁ +t(s₂ - sim₁)

z = z₁ +t(z₂ - z₁)

Substituindo as coordenadas dos pontos A1(6;6;5) e A2(4;9;5), obtemos:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Assim, a equação da reta A1A2 tem a forma x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

Para encontrar a equação de uma reta perpendicular a um plano que passa por três pontos, usamos o vetor normal a este plano. O vetor normal ao plano A1A2A3 é encontrado como o produto vetorial de seus dois vetores de direção:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

Assim, o vetor normal ao plano A1A2A3 tem a forma n = (-3i - 22j + 12k).

A reta A4M deve passar pelo ponto A4(6;9;3) e ser perpendicular ao plano A1A2A3, portanto seu vetor diretor deve ser paralelo ao vetor normal a este plano. O vetor direção pode ser escolhido como n' = (22i - 3j) (a direção do vetor é oposta à direção de n, de modo que a reta vai do ponto A4). Então a equação paramétrica da reta A4M será:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Assim, a equação da reta A4M tem a forma x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

A linha A3N deve ser paralela à linha A1A2, portanto seu vetor direção deve ser paralelo ao vetor direção da linha A1A2. O vetor de direção da linha reta A1A2 é igual a:

você = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Então o vetor de direção da reta A3N também deve ser igual a -2i + 3j. A linha A3N passa pelo ponto A3(4;6;11), então sua equação pode ser escrita na forma paramétrica:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

Assim, a equação da reta A3N tem a forma x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

O vetor normal ao plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2 deve ser paralelo ao vetor diretor da reta A1A2. O vetor de direção da linha reta A1A2 é igual a

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Agora vamos resolver os problemas da descrição:

a) Equação do plano A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

b) Equação da reta A1A2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

c) Vetor direção da reta A4M: n' = (22i - 3j). Equação da linha A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Vetor direção da reta A3N: u = -2i + 3j. Equação da linha A3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

e) O vetor normal ao plano desejado deve ser paralelo ao vetor direção da reta A1A2, ou seja -2i + 3j. Equação plana: -2x + 3y - 18z + c = 0. Substituindo as coordenadas do ponto A4(6;9;3), obtemos c = -45. Assim, a equação do plano desejado é: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

f) O ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3 pode ser encontrado como o ângulo entre o vetor diretor da reta A1A4 e o vetor normal do plano A1A2A3. Vetor direção da reta A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Vetor normal ao plano A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Então o seno do ângulo entre a reta e o plano é igual a: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733.

g) O cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3 é igual ao cosseno do ângulo entre o vetor normal do plano A1A2A3 e a direção do eixo Ox. Vetor normal ao plano A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Direção do eixo do Boi: i. Então o cosseno do ângulo entre eles é igual a: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

Nº 2.17. O vetor de direção do segmento M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). O vetor normal ao plano que passa pelo ponto M e perpendicular ao segmento M1M2 é igual ao produto vetorial do vetor diretor do segmento e o vetor perpendicular ao plano: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Assim, a equação do plano desejado é: -2x + 4y - 4z + d = 0. Substituindo as coordenadas do ponto M (-1;2;3), obtemos d = 2. Assim, a equação do plano passando pelo ponto M e perpendicular ao segmento M1M2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

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O produto neste caso é a tarefa IDZ 3.1 sobre geometria, que contém diversas subtarefas.

Na primeira subtarefa, você precisa criar equações para um plano que passa por três pontos dados (A1, A2, A3), bem como uma linha reta que passa por dois desses pontos (A1, A2). Você também precisa encontrar uma linha reta (A4M) perpendicular ao primeiro plano e passando pelo quarto ponto dado (A4), bem como uma linha reta (A3N) paralela à segunda linha reta (A1A2). Na última subtarefa, você precisa encontrar o ângulo entre a primeira linha (A1A4) e o primeiro plano (A1A2A3), bem como o cosseno do ângulo entre o plano que contém o segmento dado (M1M2) e o plano coordenado Oxy.

Na segunda subtarefa, você precisa criar uma equação para um plano que passa por um determinado ponto (M) e é perpendicular a um determinado segmento (M1M2).

Na terceira subtarefa, você precisa mostrar que uma determinada reta é paralela a um determinado plano e também que está neste plano.

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