Phương án 17 IDZ 3.1

№1.17

Cho bốn điểm A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Lập các phương trình:

1. mặt phẳng A1A2A3;
2. thẳng A1A2;
3. đường thẳng A4M vuông góc với mặt phẳng A1A2A3;
4. đường thẳng A3N song song với đường thẳng A1A2;
5. mặt phẳng đi qua điểm A4, vuông góc với đường thẳng A1A2.

Tính toán:

1. sin góc giữa đường thẳng A1A4 và mặt phẳng A1A2A3;
2. cosin của góc giữa mặt phẳng tọa độ Oxy và mặt phẳng A1A2A3;

Trả lời:

1. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm ta áp dụng công thức:

(x - x₁)(y₂ - y₁)(z₃ - z₁) + (và - và₁)(z₂ - z₁)(x₃ - x₁) + (z - z₁)(x₂ - x₁)(y₃ - y₁) - (z - z₁)(y₂ - y₁)(x₃ - x₁) - (và và₁)(x₂ - x₁)(z₃ - z₁) - (x - x₁)(z₂ - z₁)(y₃ - y₁) = 0

Thay tọa độ các điểm ta được:

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

Để đơn giản hóa:

3x - 3y + 6z - 18 = 0

Như vậy phương trình mặt phẳng A1A2A3 là 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, ta sử dụng phương trình tham số của đường thẳng:

x = x₁ + t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t(y₂ - y₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

Thay tọa độ các điểm A1(6;6;5) và A2(4;9;5), ta được:

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Như vậy phương trình đường thẳng A1A2 có dạng x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 5.

Để tìm phương trình đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng đi qua ba điểm, ta sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A1A2A3 được tìm thấy dưới dạng tích vectơ của hai vectơ chỉ phương của nó:

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

Như vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A1A2A3 có dạng n = (-3i - 22j + 12k).

Đường thẳng A4M phải đi qua điểm A4(6;9;3) và vuông góc với mặt phẳng A1A2A3 nên vectơ chỉ phương của nó phải song song với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Có thể chọn vectơ chỉ phương là n' = (22i - 3j) (hướng của vectơ ngược với hướng của n sao cho đường thẳng đi từ điểm A4). Khi đó phương trình tham số của đường thẳng A4M sẽ là:

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Như vậy phương trình đường thẳng A4M có dạng x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

Đường thẳng A3N phải song song với đường thẳng A1A2 nên vectơ chỉ phương của nó phải song song với vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A2 bằng:

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng A3N cũng phải bằng -2i + 3j. Đường thẳng A3N đi qua điểm A3(4;6;11) nên phương trình của nó có thể viết dưới dạng tham số:

x = 4 - 2t

y = 6 + 3t

z = 11

Như vậy phương trình đường thẳng A3N có dạng x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 11.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua điểm A4 và vuông góc với đường thẳng A1A2 phải song song với vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A2 bằng

Sản phẩm "Option 17 IDZ 3.1" là sản phẩm kỹ thuật số dành cho học sinh học toán. Nó chứa các bài tập và câu trả lời cho các bài toán từ phần "Tích phân" của khóa học toán cao hơn.

Thiết kế sản phẩm được làm ở định dạng html đẹp mắt, cho phép bạn xem và nghiên cứu tài liệu một cách thuận tiện. Khi mua sản phẩm, bạn sẽ nhận được quyền truy cập vào một tệp chứa các bài tập và câu trả lời có thể được sử dụng cho cả công việc độc lập và chuẩn bị cho kỳ thi.

Sản phẩm “Option 17 IDZ 3.1” là giải pháp tuyệt vời dành cho học sinh muốn nâng cao kiến ​​thức, kỹ năng môn Toán. Nhờ định dạng thuận tiện, bạn có thể dễ dàng và nhanh chóng hoàn thành tất cả các nhiệm vụ và xác minh kiến ​​​​thức của mình.

Sản phẩm "Phương án 17 IDZ 3.1" là sản phẩm kỹ thuật số chứa các bài tập và đáp án cho các bài toán thuộc phần "Tích phân" của môn toán cao cấp. Thiết kế sản phẩm được làm ở định dạng html đẹp mắt, cho phép bạn xem và nghiên cứu tài liệu một cách thuận tiện. Khi mua sản phẩm, bạn sẽ nhận được quyền truy cập vào một tệp chứa các bài tập và câu trả lời có thể được sử dụng cho cả công việc độc lập và chuẩn bị cho kỳ thi.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải quyết các vấn đề từ mô tả:

a) Phương trình mặt phẳng A1A2A3: 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

b) Phương trình đường thẳng A1A2: x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 5.

c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng A4M: n' = (22i - 3j). Phương trình đường thẳng A4M: x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Vectơ chỉ phương của đường thẳng A3N: u = -2i + 3j. Phương trình đường thẳng A3N: x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​z = 11.

e) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mong muốn phải song song với vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A2, tức là -2i + 3j. Phương trình mặt phẳng: -2x + 3y - 18z + c = 0. Thay tọa độ điểm A4(6;9;3), ta được c = -45. Do đó, phương trình của mặt phẳng mong muốn là: -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

f) Góc giữa đường thẳng A1A4 và mặt phẳng A1A2A3 có thể coi là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A4 và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A1A2A3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A4: AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Khi đó sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng: |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * sqrt(733)) = 3sqrt(733)/733.

g) Cosin của góc giữa mặt phẳng tọa độ Oxy và mặt phẳng A1A2A3 bằng cosin của góc giữa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A1A2A3 và hướng của trục Ox. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A1A2A3: n = (-3i - 22j + 12k). Hướng của trục Ox: i. Khi đó cosin của góc giữa chúng bằng: (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

Số 2.17. Vectơ chỉ phương của đoạn M1M2: v = M2 - M1 = (-3i - j + k). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đoạn M1M2 bằng tích vectơ chỉ phương của đoạn thẳng và vectơ vuông góc với mặt phẳng: n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Do đó, phương trình của mặt phẳng mong muốn là: -2x + 4y - 4z + d = 0. Thay tọa độ của điểm M (-1;2;3), ta được d = 2. Như vậy, phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đoạn M1M2: -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

***

Sản phẩm trong trường hợp này là nhiệm vụ IDZ 3.1 về hình học, bao gồm một số nhiệm vụ phụ.

Trong nhiệm vụ con đầu tiên, bạn cần tạo phương trình cho một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước (A1, A2, A3), cũng như một đường thẳng đi qua hai trong số các điểm này (A1, A2). Bạn cũng cần tìm một đường thẳng (A4M) vuông góc với mặt phẳng thứ nhất và đi qua điểm thứ tư (A4), cũng như một đường thẳng (A3N) song song với đường thẳng thứ hai (A1A2). Trong nhiệm vụ con cuối cùng, bạn cần tìm góc giữa đường thẳng thứ nhất (A1A4) và mặt phẳng thứ nhất (A1A2A3), cũng như cosin của góc giữa mặt phẳng chứa đoạn thẳng cho trước (M1M2) và mặt phẳng tọa độ Oxy. .

Trong nhiệm vụ con thứ hai, bạn cần tạo phương trình cho một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước (M) và vuông góc với một đoạn cho trước (M1M2).

Trong nhiệm vụ con thứ ba, bạn cần chỉ ra rằng một đường thẳng đã cho song song với một mặt phẳng đã cho và nó cũng nằm trong mặt phẳng này.

***

1. Có được quyền truy cập vào nội dung số một cách nhanh chóng và thuận tiện mà không phải chờ giao hàng.
2. Chất lượng của sản phẩm kỹ thuật số cao và hoàn toàn phù hợp với mô tả.
3. Sẽ rất thuận tiện khi sử dụng một sản phẩm kỹ thuật số thay vì một sản phẩm vật lý tương tự vì nó không chiếm dung lượng và không bị hư hỏng.
4. Thật vui khi nhận được một sản phẩm kỹ thuật số với mức chiết khấu tốt so với giá của sản phẩm vật lý.
5. Tôi thực sự thích rằng khi mua một sản phẩm kỹ thuật số, tôi có thể sử dụng nó trên nhiều thiết bị mà không phải trả thêm tiền.
6. Nhận được sản phẩm kỹ thuật số ngay lập tức mà không có bất kỳ sự chậm trễ hoặc vấn đề nào.
7. Sản phẩm kỹ thuật số rất dễ sử dụng và đáp ứng đầy đủ mong đợi của tôi.

Đặc thù:

Một sản phẩm kỹ thuật số rất tiện lợi giúp tiết kiệm thời gian và nguồn lực.

Quá trình tải xuống và cài đặt sản phẩm diễn ra rất nhanh chóng và không gặp vấn đề gì.

Một sự lựa chọn tuyệt vời cho những ai muốn tiếp cận tài liệu chất lượng bất cứ lúc nào.

Tùy chọn 17 của IDZ 3.1 là một ví dụ tuyệt vời về cách một sản phẩm kỹ thuật số có thể giúp cuộc sống của học sinh dễ dàng hơn.

Tôi thực sự thích ý tưởng truy cập tài liệu ở dạng điện tử - nó thân thiện với môi trường và tiện lợi.

Giá thành của một sản phẩm kỹ thuật số thấp hơn so với sản phẩm in, khiến nó có giá cả phải chăng hơn.

Chức năng tìm kiếm rất thuận tiện và truy cập nhanh vào thông tin bạn cần.

Tùy chọn 17 IDZ 3.1 là sự lựa chọn tuyệt vời cho những ai muốn nhận tài liệu giáo dục chất lượng cao mà không phải trả thêm phí.

Một sản phẩm kỹ thuật số cho phép bạn dễ dàng làm việc với các bài viết và tài liệu mà không phải lo lắng về sự an toàn của bản in.

Tùy chọn 17 của IDZ 3.1 là một ví dụ điển hình về cách một sản phẩm kỹ thuật số có thể giúp ích cho sinh viên trong học tập và tiết kiệm thời gian tìm kiếm tài liệu.