Option 17 IDZ 3.1

№1.17

Étant donné quatre points A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Composez des équations :

1. avions A1A2A3 ;
2. droit A1A2;
3. droite A4M, perpendiculaire au plan A1A2A3 ;
4. droite A3N parallèle à la droite A1A2 ;
5. plan passant par le point A4, perpendiculaire à la droite A1A2.

Calculer:

1. sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ;
2. cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3 ;

Répondre:

1. Afin de trouver l'équation d'un plan passant par trois points, on utilise la formule :

(x-x₁)(o₂ - oui₁)(z₃ -z₁) + (et - et₁)(z₂ -z₁)(X₃ - X₁) + (z -z₁)(X₂ - X₁)(o₃ - oui₁) - (z -z₁)(o₂ - oui₁)(X₃ - X₁) - (et et₁)(X₂ - X₁)(z₃ -z₁) - (x - X₁)(z₂ - z₁)(o₃ - oui₁) = 0

En substituant les coordonnées des points, on obtient :

(x - 6)(9 - 6)(11 - 5) + (y - 6)(5 - 5)(4 - 6) + (z - 5)(4 - 6)(6 - 6) - (z - 5)(9 - 6)(4 - 6) - (y - 6)(4 - 6)(11 - 5) - (x - 6)(5 - 5)(6 - 11) = 0

Pour simplifier :

3x - 3 ans + 6z - 18 = 0

Ainsi, l'équation du plan A1A2A3 est 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

Pour trouver l'équation d'une droite passant par deux points, on utilise l'équation paramétrique d'une droite :

x = x₁ +t(x₂ - x₁)

y = y₁ + t(y₂ - oui₁)

z = z₁ + t(z₂ - z₁)

En substituant les coordonnées des points A1(6;6;5) et A2(4;9;5), on obtient :

x = 6 - 2t

y = 6 + 3t

z = 5

Ainsi, l'équation de la droite A1A2 a la forme x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

Afin de trouver l’équation d’une droite perpendiculaire à un plan passant par trois points, on utilise le vecteur normal à ce plan. Le vecteur normal au plan A1A2A3 se trouve comme le produit vectoriel de ses deux vecteurs directeurs :

AB = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

AC = (4-6)i + (6-6)j + (11-5)k = -2i + 6k

n = AB × AC = (-3i - 22j + 12k).

Ainsi, le vecteur normal au plan A1A2A3 a la forme n = (-3i - 22j + 12k).

La droite A4M doit passer par le point A4(6;9;3) et être perpendiculaire au plan A1A2A3, donc son vecteur directeur doit être parallèle au vecteur normal à ce plan. Le vecteur direction peut être choisi comme n' = (22i - 3j) (la direction du vecteur est opposée à la direction de n, de sorte que la droite part du point A4). Alors l’équation paramétrique de la droite A4M sera :

x = 6 + 22t

y = 9 - 3t

z = 3 + 12t

Ainsi, l'équation de la droite A4M a la forme x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

La ligne A3N doit être parallèle à la ligne A1A2, donc son vecteur directeur doit être parallèle au vecteur directeur de la ligne A1A2. Le vecteur directeur de la droite A1A2 est égal à :

u = (4-6)i + (9-6)j + (5-5)k = -2i + 3j

Alors le vecteur directeur de la droite A3N doit également être égal à -2i + 3j. La droite A3N passe par le point A3(4;6;11), son équation peut donc s'écrire sous forme paramétrique :

x = 4-2t

y = 6 + 3t

z = 11

Ainsi, l'équation de la droite A3N a la forme x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

Le vecteur normal au plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la ligne A1A2 doit être parallèle au vecteur directeur de la ligne A1A2. Le vecteur directeur de la droite A1A2 est égal à

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Passons maintenant à la résolution des problèmes de la description :

a) Équation du plan A1A2A3 : 3x - 3y + 6z - 18 = 0.

b) Équation de la droite A1A2 : x = 6 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 5.

c) Vecteur directeur de la droite A4M : n' = (22i - 3j). Équation de la droite A4M : x = 6 + 22t, y = 9 - 3t, z = 3 + 12t.

d) Vecteur directeur de la droite A3N : u = -2i + 3j. Équation de la droite A3N : x = 4 - 2t, y = 6 + 3t, ​​​​z = 11.

e) Le vecteur normal au plan désiré doit être parallèle au vecteur directeur de la droite A1A2, soit -2i + 3j. Équation plane : -2x + 3y - 18z + c = 0. En remplaçant les coordonnées du point A4(6;9;3), nous obtenons c = -45. Ainsi, l'équation du plan recherché est : -2x + 3y - 18z - 45 = 0.

f) L'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 peut être trouvé comme l'angle entre le vecteur directeur de la droite A1A4 et le vecteur normal du plan A1A2A3. Vecteur directeur de la droite A1A4 : AB = (6-4)i + (9-6)j + (3-5)k = 2i + 3j - 2k. Vecteur normal au plan A1A2A3 : n = (-3i - 22j + 12k). Alors le sinus de l'angle entre la droite et le plan est égal à : |AB × n| / (|AB| * |n|) = |-45| / (|AB| * carré(733)) = 3 carré(733)/733.

g) Le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3 est égal au cosinus de l'angle entre le vecteur normal du plan A1A2A3 et la direction de l'axe Ox. Vecteur normal au plan A1A2A3 : n = (-3i - 22j + 12k). Direction de l'axe Ox : i. Alors le cosinus de l'angle qui les sépare est égal à : (n * i) / (|n| * |i|) = -3/sqrt(733).

N ° 2.17. Le vecteur directeur du segment M1M2 : v = M2 - M1 = (-3i - j + k). Le vecteur normal au plan passant par le point M et perpendiculaire au segment M1M2 est égal au produit vectoriel du vecteur direction du segment et du vecteur perpendiculaire au plan : n = v × (i + j + k) = (-2i + 4j - 4k). Ainsi, l'équation du plan recherché est : -2x + 4y - 4z + d = 0. En substituant les coordonnées du point M (-1;2;3), on obtient d = 2. Ainsi, l'équation du plan passant par le point M et perpendiculaire au segment M1M2 : -2x + 4y - 4z + 2 = 0.

***

Le produit dans ce cas est la tâche IDZ 3.1 sur la géométrie, qui contient plusieurs sous-tâches.

Dans la première sous-tâche, vous devez créer des équations pour un plan passant par trois points donnés (A1, A2, A3), ainsi qu'une droite passant par deux de ces points (A1, A2). Il faut également trouver une droite (A4M) perpendiculaire au premier plan et passant par le quatrième point donné (A4), ainsi qu'une droite (A3N) parallèle à la deuxième droite (A1A2). Dans la dernière sous-tâche, vous devez trouver l'angle entre la première droite (A1A4) et le premier plan (A1A2A3), ainsi que le cosinus de l'angle entre le plan contenant le segment donné (M1M2) et le plan de coordonnées Oxy .

Dans la deuxième sous-tâche, vous devez créer une équation pour un plan passant par un point donné (M) et perpendiculaire à un segment donné (M1M2).

Dans la troisième sous-tâche, vous devez montrer qu'une droite donnée est parallèle à un plan donné, et également qu'elle se trouve dans ce plan.

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