Opção 12 IDZ 2.2

Nº 1.12. Para um determinado conjunto de vetores, você deve executar as seguintes etapas:

a) calcular o produto misto de três vetores;
b) encontre o módulo do produto vetorial;
c) calcular o produto escalar de dois vetores;
d) verificar se dois vetores são colineares ou ortogonais;
e) verifique se três vetores são coplanares: a(-4;3;-7);b(4;6;-2);c(6;9;-3).

Solução: a) Para calcular o produto misto de três vetores, é necessário encontrar o determinante da matriz composta pelas coordenadas desses vetores: $$\begin{vmatrix} -4 & 3 & -7 \\ 4 & 6 & -2 \\ 6 & 9 & - 3 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 6 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) \cdot 6 + (-7) \cdot 4 \ cdot 9 - (-7) \cdot 6 \cdot (-2) - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \cdot 9 = -84.$$ Resposta: -84. b) Para encontrar o módulo do produto vetorial dos vetores aeb, é necessário calcular o comprimento do vetor obtido como resultado de seu produto vetorial. A fórmula para calcular o módulo de um produto vetorial é: $$|a \times b| = |(-39;14;30)| = \sqrt{(-39)^2 + 14^2 + 30^2} \aproximadamente 42,01.$$ Resposta: 42,01. c) Para calcular o produto escalar de dois vetores, é necessário multiplicar as coordenadas correspondentes desses vetores e somar os produtos resultantes: $$a \cdot b = (-4) \cdot 4 + 3 \cdot 6 + (- 7) \cdot (-2) = 8.$$ Resposta: 8. d) Dois vetores diferentes de zero serão colineares se um deles for múltiplo do outro. Dois vetores diferentes de zero serão ortogonais se seu produto escalar for zero. Vamos calcular o produto escalar dos vetores aeb: $$a \cdot b = 8 \neq 0,$$ significa que os vetores aeb não são ortogonais. A seguir, vamos encontrar o produto vetorial dos vetores a e b: $$a \times b = (-39;14;30).$$ Vamos calcular o produto escalar dos vetores a e c: $$a \cdot c = ( -4) \cdot 6 + 3 \cdot 9 + (-7) \cdot (-3) = 51,$$ significa que os vetores a e c não são ortogonais. A seguir, vamos encontrar o produto vetorial dos vetores a e c: $$a \times c = (-12;-34;-6).$$ Vamos calcular o produto escalar dos vetores b e c: $$b \cdot c = 4 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-3) = 72,$$ significa que os vetores b e c não são ortogonais. A seguir, encontramos o produto vetorial dos vetores b e c: $$b \times c =(33;26;18).$$ Assim, nem dois nem três vetores são ortogonais e, portanto, não podem ser coplanares. e) Resposta: Nenhum dos três vetores é coplanar com os outros dois vetores. Nº 2.12. Os vértices da pirâmide são dados: A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3;4). Solução: Para encontrar o volume da pirâmide formada pelos vértices A, B, C e D, é necessário encontrar metade do volume do paralelepípedo formado pelos vetores AB, AC e AD. O volume de um paralelepípedo pode ser calculado usando a fórmula: $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6.$$ Cálculos: $$\vec {AB} = ( -6;-6;-12),$$ $$\vec{AC} = (-12;-7;-9),$$ $$\vec{AD} = (-6; -7;-5 ),$$ $$\vec{AC} \times \vec{AD} = (-26;78;-42),$$ $$\vec{AB} \cdot (\vec{AC } \times \vec {AD}) = 936.$$ $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6 = 156.$$ Resposta: o volume da pirâmide formada pelos vértices A, B, C e D é igual a 156. Não. 3.12. Dada é a força F(2;2;9) aplicada ao ponto A(4;2;-3). Solução: a) Para calcular o trabalho da força F, é necessário encontrar o produto escalar do vetor força e o vetor deslocamento do ponto de aplicação da força: $$W = \vec{F} \cdot \vec {s},$$ onde $\vec{F}$ - vetor de força, $\vec{s}$ é o vetor de deslocamento do ponto de aplicação da força. O vetor deslocamento do ponto de aplicação da força: $$\vec{s} = \vec{AB} = (-2;2;3),$$ onde ponto B(2;4;0). Então o trabalho da força F ao mover o ponto de aplicação da força do ponto A para o ponto B é igual a: $$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = 14.$$ Resposta: trabalho da força F ao mover o ponto de aplicação da força do ponto A para o ponto B é igual a 14. b) Momento de força F relativo B pode ser calculado usando a fórmula: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F},$$ onde $\vec{r_{AB}}$ é o vetor raio de o ponto de aplicação da força em relação ao ponto B. O vetor raio do ponto de aplicação da força em relação ao ponto B: $$\vec{r_{AB}} = \vec{BA} = (2;-2; -3).$$ Então o momento da força F em relação ao ponto B é igual a: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F} = (-22;22 ;8).$$ O módulo de momento é: $$|\vec{M_B} | = \sqrt{(-22)^2 + 22^2 + 8^2} \approx 30,33.$$ Resposta: o módulo do momento da força F em relação ao ponto B é aproximadamente aproximadamente

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