Вариант 12 IDZ 2.2

№ 1.12. За даден набор от вектори трябва да изпълните следните стъпки:

а) изчислете смесеното произведение на три вектора;
б) намерете модула на векторното произведение;
в) пресметнете скаларното произведение на два вектора;
г) проверка дали два вектора са колинеарни или ортогонални;
д) проверете дали три вектора са компланарни: a(-4;3;-7);b(4;6;-2);c(6;9;-3).

Решение: а) За да се изчисли смесеното произведение на три вектора, е необходимо да се намери детерминантата на матрицата, съставена от координатите на тези вектори: $$\begin{vmatrix} -4 & 3 & -7 \\ 4 & 6 & -2 \\ 6 & 9 & - 3 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 6 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) \cdot 6 + (-7) \cdot 4 \ cdot 9 - (-7) \cdot 6 \cdot (-2) - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \cdot 9 = -84.$$ Отговор: -84. б) За да се намери модулът на векторното произведение на векторите a и b, е необходимо да се изчисли дължината на вектора, получен в резултат на тяхното векторно произведение. Формулата за изчисляване на модула на векторно произведение е: $$|a \times b| = |(-39;14;30)| = \sqrt{(-39)^2 + 14^2 + 30^2} \приблизително 42,01.$$ Отговор: 42,01. в) За да се изчисли скаларното произведение на два вектора, е необходимо да се умножат съответните координати на тези вектори и да се съберат получените продукти: $$a \cdot b = (-4) \cdot 4 + 3 \cdot 6 + (- 7) \cdot (-2) = 8.$$ Отговор: 8. г) Два ненулеви вектора ще бъдат колинеарни, ако единият от тях е кратен на другия. Два ненулеви вектора ще бъдат ортогонални, ако точковият им продукт е нула. Нека изчислим скаларното произведение на векторите a и b: $$a \cdot b = 8 \neq 0,$$ означава, че векторите a и b не са ортогонални. След това нека намерим векторното произведение на векторите a и b: $$a \times b = (-39;14;30).$$ Нека изчислим скаларното произведение на векторите a и c: $$a \cdot c = ( -4) \cdot 6 + 3 \cdot 9 + (-7) \cdot (-3) = 51,$$ означава, че векторите a и c не са ортогонални. След това нека намерим векторното произведение на векторите a и c: $$a \times c = (-12;-34;-6).$$ Нека изчислим скаларното произведение на векторите b и c: $$b \cdot c = 4 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-3) = 72,$$ означава, че векторите b и c не са ортогонални. След това намираме векторното произведение на векторите b и c: $$b \times c =(33;26;18).$$ Следователно нито два, нито три вектора са ортогонални и следователно не могат да бъдат компланарни. д) Отговор: Нито един от трите вектора не е копланарен с другите два вектора. № 2.12. Дадени са върховете на пирамидата: A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3;4). Решение: За да се намери обемът на пирамидата, образувана от върховете A, B, C и D, е необходимо да се намери половината от обема на паралелепипеда, образуван от векторите AB, AC и AD. Обемът на паралелепипед може да се изчисли по формулата: $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6.$$ Изчисления: $$\vec {AB} = ( -6;-6;-12),$$ $$\vec{AC} = (-12;-7;-9),$$ $$\vec{AD} = (-6; -7;-5 ),$$ $$\vec{AC} \times \vec{AD} = (-26;78;-42),$$ $$\vec{AB} \cdot (\vec{AC } \times \vec {AD}) = 936.$$ $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6 = 156.$$ Отговор: обемът на пирамидата, образувана от върховете A, B, C и D, е равен на 156. No 3.12. Дадена е силата F(2;2;9), приложена към точка A(4;2;-3). Решение: а) За да се изчисли работата на силата F, е необходимо да се намери скаларното произведение на вектора на силата и вектора на изместване на точката на приложение на силата: $$W = \vec{F} \cdot \vec {s},$$ където $\vec{F}$ - вектор на силата, $\vec{s}$ е векторът на изместване на точката на прилагане на сила. Векторът на изместване на точката на прилагане на сила: $$\vec{s} = \vec{AB} = (-2;2;3),$$ където точка B(2;4;0). Тогава работата на силата F при преместване на точката на прилагане на силата от точка A към точка B е равна на: $$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = 14.$$ Отговор: работа на силата F при преместване на точката на прилагане на силата от точка А до точка В е равно на 14. б) Моментът на силата F относителен B може да се изчисли по формулата: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F},$$ където $\vec{r_{AB}}$ е радиус векторът на точката на прилагане на силата спрямо точка B. Радиус векторът на точката на прилагане на силата спрямо точка B: $$\vec{r_{AB}} = \vec{BA} = (2;-2; -3).$$ Тогава моментът на сила F спрямо точка B е равен на: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F} = (-22;22 ;8).$$ Модулът на момента е равен на: $$|\vec{M_B} | = \sqrt{(-22)^2 + 22^2 + 8^2} \approx 30.33.$$ Отговор: модулът на момента на сила F спрямо точка B е приблизително приблизително

Този продукт е цифров продукт, който представлява решения на проблеми в линейната алгебра и векторната алгебра, включително намиране на скаларно и векторно произведение на вектори, определяне на колинеарност и ортогоналност на вектори, изчисляване на обема на пирамида и момента на силата спрямо точката на прилагане на силата.

Този продукт предоставя подробни решения на всеки проблем, както и обяснение стъпка по стъпка на процеса на решаване, което ще ви помогне да разберете по-добре материала и да се подготвите за изпит или тест.

Освен това продуктът е проектиран в красив html формат, което го прави удобен и приятен за четене. Всяка задача е представена в отделен блок с ярко заглавие, което улеснява навигацията и търсенето на необходимата информация.

Закупувайки този продукт, Вие получавате полезен и качествен материал, който ще Ви помогне успешно да усвоите темата по линейна и векторна алгебра, както и да се подготвите за изпит или контролна работа.

Този продукт е колекция от решения на проблеми в линейната и векторна алгебра, включително намиране на смесено, скаларно и векторно произведение на вектори, определяне на колинеарността и ортогоналността на векторите, изчисляване на обема на пирамидата и момента на силата спрямо точката на прилагане на силата. Всяка задача е представена в отделен блок, който предоставя стъпка по стъпка обяснение на процеса на решаване с помощта на подходящи формули и методи.

Дизайнът на продукта е изработен в красив html формат, което го прави удобен и приятен за четене. Има и ярки заглавия за всяка задача, което улеснява навигацията и намирането на необходимата информация.

Закупувайки този продукт, вие получавате полезен и висококачествен материал, който ще ви помогне да разберете по-добре материала по линейна и векторна алгебра, както и да се подготвите за изпит или тест.

***

Съжалявам, не мога да изпълня заявката ви. Мога да отговарям само на запитвания на английски език. Ако желаете, мога да ви помогна с превода на вашата заявка на английски.

***

Страхотен цифров продукт, който ми помогна да се справя с IDD без допълнителни усилия!
Благодаря ви за такава удобна опция за IDZ, всички материали вече са на моя компютър!
Бързо и лесно пазаруване на дигитални стоки, препоръчвам го на всеки!
Идеален вариант за тези, които искат да спестят време и да получат всички необходими материали на едно място
Отлично качество на материалите, най-накрая успях да разбера темата благодарение на този цифров продукт!
Много удобен начин за достъп до необходимите материали, без да се налага да ги търсите в интернет
Благодаря ви за такава практична версия на IDS, сега мога бързо и лесно да се подготвя за изпита!