Option 12 IDZ 2.2

Nr. 1.12. Für einen bestimmten Satz von Vektoren müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

• a) Berechnen Sie das gemischte Produkt dreier Vektoren;
• b) Finden Sie den Modul des Vektorprodukts;
• c) das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen;
• d) prüfen, ob zwei Vektoren kollinear oder orthogonal sind;
• e) Überprüfen Sie, ob drei Vektoren koplanar sind: a(-4;3;-7);b(4;6;-2);c(6;9;-3).

Lösung: a) Um das gemischte Produkt dreier Vektoren zu berechnen, muss die Determinante der Matrix ermittelt werden, die aus den Koordinaten dieser Vektoren besteht: $$\begin{vmatrix} -4 & 3 & -7 \\ 4 & 6 & -2 \\ 6 & 9 & - 3 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 6 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) \cdot 6 + (-7) \cdot 4 \ cdot 9 - (-7) \cdot 6 \cdot (-2) - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \cdot 9 = -84.$$ Antwort: -84. b) Um den Modul des Vektorprodukts der Vektoren a und b zu ermitteln, muss die Länge des Vektors berechnet werden, der sich aus ihrem Vektorprodukt ergibt. Die Formel zur Berechnung des Moduls eines Vektorprodukts lautet: $$|a \times b| = |(-39;14;30)| = \sqrt{(-39)^2 + 14^2 + 30^2} \ungefähr 42.01.$$ Antwort: 42.01. c) Um das Skalarprodukt zweier Vektoren zu berechnen, müssen die entsprechenden Koordinaten dieser Vektoren multipliziert und die resultierenden Produkte addiert werden: $$a \cdot b = (-4) \cdot 4 + 3 \cdot 6 + (- 7) \cdot (-2) = 8.$$ Antwort: 8. d) Zwei Vektoren ungleich Null sind kollinear, wenn einer von ihnen ein Vielfaches des anderen ist. Zwei Vektoren ungleich Null sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Berechnen wir das Skalarprodukt der Vektoren a und b: $$a \cdot b = 8 \neq 0,$$ bedeutet, dass die Vektoren a und b nicht orthogonal sind. Als nächstes ermitteln wir das Vektorprodukt der Vektoren a und b: $$a \times b = (-39;14;30).$$ Berechnen wir das Skalarprodukt der Vektoren a und c: $$a \cdot c = ( -4) \cdot 6 + 3 \cdot 9 + (-7) \cdot (-3) = 51,$$ bedeutet, dass die Vektoren a und c nicht orthogonal sind. Als nächstes ermitteln wir das Vektorprodukt der Vektoren a und c: $$a \times c = (-12;-34;-6).$$ Berechnen wir das Skalarprodukt der Vektoren b und c: $$b \cdot c = 4 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-3) = 72,$$ bedeutet, dass die Vektoren b und c nicht orthogonal sind. Als nächstes ermitteln wir das Vektorprodukt der Vektoren b und c: $$b \times c =(33;26;18).$$ Somit sind weder zwei noch drei Vektoren orthogonal und können daher nicht koplanar sein. e) Antwort: Keiner der drei Vektoren ist koplanar mit den anderen beiden Vektoren. Nr. 2.12. Die Eckpunkte der Pyramide sind angegeben: A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3;4). Lösung: Um das Volumen der durch die Eckpunkte A, B, C und D gebildeten Pyramide zu ermitteln, muss das halbe Volumen des durch die Vektoren AB, AC und AD gebildeten Parallelepipeds ermittelt werden. Das Volumen eines Parallelepipeds kann mit der Formel berechnet werden: $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6.$$ Berechnungen: $$\vec {AB} = ( -6;-6;-12),$$ $$\vec{AC} = (-12;-7;-9),$$ $$\vec{AD} = (-6; -7;-5 ),$$ $$\vec{AC} \times \vec{AD} = (-26;78;-42),$$ $$\vec{AB} \cdot (\vec{AC } \times \vec {AD}) = 936.$$ $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6 = 156.$$ Antwort: Das Volumen der durch die Eckpunkte A, B, C und D gebildeten Pyramide beträgt 156. Nr. 3.12. Gegeben ist die Kraft F(2;2;9), die auf Punkt A(4;2;-3) wirkt. Lösung: a) Um die Arbeit der Kraft F zu berechnen, muss das Skalarprodukt des Kraftvektors und des Verschiebungsvektors des Angriffspunkts der Kraft ermittelt werden: $$W = \vec{F} \cdot \vec {s},$$ wobei $\vec{F}$ - Kraftvektor, $\vec{s}$ der Verschiebungsvektor des Kraftangriffspunkts ist. Der Verschiebungsvektor des Kraftangriffspunkts: $$\vec{s} = \vec{AB} = (-2;2;3),$$ wobei Punkt B(2;4;0). Dann ist die Kraftarbeit F beim Verschieben des Kraftangriffspunkts von Punkt A nach Punkt B gleich: $$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = 14.$$ Antwort: Kraftarbeit F beim Verschieben des Kraftangriffspunkts von Punkt A nach Punkt B ist gleich 14. b) Kraftmoment F relativ B kann mit der Formel berechnet werden: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F},$$ wobei $\vec{r_{AB}}$ der Radiusvektor von ist der Kraftangriffspunkt relativ zum Punkt B. Der Radiusvektor des Kraftangriffspunkts relativ zum Punkt B: $$\vec{r_{AB}} = \vec{BA} = (2;-2; -3).$$ Dann ist das Kraftmoment F relativ zum Punkt B gleich: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F} = (-22;22 ;8).$$ Momentenmodul ist: $$|\vec{M_B} | = \sqrt{(-22)^2 + 22^2 + 8^2} \ approx 30.33.$$ Antwort: Der Modul des Kraftmoments F relativ zum Punkt B beträgt ungefähr ungefähr

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