Opción 12 IDZ 2.2

N° 1.12. Para un conjunto determinado de vectores, debes realizar los siguientes pasos:

a) calcular el producto mixto de tres vectores;
b) encontrar el módulo del producto vectorial;
c) calcular el producto escalar de dos vectores;
d) comprobar si dos vectores son colineales u ortogonales;
e) comprobar si tres vectores son coplanares: a(-4;3;-7);b(4;6;-2);c(6;9;-3).

Solución: a) Para calcular el producto mixto de tres vectores, es necesario encontrar el determinante de la matriz compuesta por las coordenadas de estos vectores: $$\begin{vmatrix} -4 & 3 & -7 \\ 4 & 6 & -2 \\ 6 & 9 & - 3 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 6 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) \cdot 6 + (-7) \cdot 4\ cdot 9 - (-7) \cdot 6 \cdot (-2) - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \cdot 9 = -84.$$ Respuesta: -84. b) Para encontrar el módulo del producto vectorial de los vectores a y b, es necesario calcular la longitud del vector obtenido como resultado de su producto vectorial. La fórmula para calcular el módulo de un producto vectorial es: $$|a \times b| = |(-39;14;30)| = \sqrt{(-39)^2 + 14^2 + 30^2} \aprox 42.01.$$ Respuesta: 42.01. c) Para calcular el producto escalar de dos vectores, es necesario multiplicar las coordenadas correspondientes de estos vectores y sumar los productos resultantes: $$a \cdot b = (-4) \cdot 4 + 3 \cdot 6 + (- 7) \cdot (-2) = 8.$$ Respuesta: 8. d) Dos vectores distintos de cero serán colineales si uno de ellos es múltiplo del otro. Dos vectores distintos de cero serán ortogonales si su producto escalar es cero. Calculemos el producto escalar de los vectores a y b: $$a \cdot b = 8 \neq 0,$$ significa que los vectores a y b no son ortogonales. A continuación, encontremos el producto vectorial de los vectores a y b: $$a \times b = (-39;14;30).$$ Calculemos el producto escalar de los vectores a y c: $$a \cdot c = ( -4) \cdot 6 + 3 \cdot 9 + (-7) \cdot (-3) = 51,$$ significa que los vectores a y c no son ortogonales. A continuación, encontremos el producto vectorial de los vectores a y c: $$a \times c = (-12;-34;-6).$$ Calculemos el producto escalar de los vectores b y c: $$b \cdot c = 4 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-3) = 72,$$ significa que los vectores byc no son ortogonales. A continuación, encontramos el producto vectorial de los vectores b y c: $$b \times c =(33;26;18).$$ Por lo tanto, ni dos ni tres vectores son ortogonales y, por lo tanto, no pueden ser coplanares. e) Respuesta: Ninguno de los tres vectores es coplanar con los otros dos vectores. N° 2.12. Los vértices de la pirámide están dados: A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3;4). Solución: Para encontrar el volumen de la pirámide formada por los vértices A, B, C y D, es necesario encontrar la mitad del volumen del paralelepípedo formado por los vectores AB, AC y AD. El volumen de un paralelepípedo se puede calcular usando la fórmula: $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6.$$ Cálculos: $$\vec {AB} = ( -6;-6;-12),$$ $$\vec{AC} = (-12;-7;-9),$$ $$\vec{AD} = (-6; -7;-5 ),$$ $$\vec{AC} \times \vec{AD} = (-26;78;-42),$$ $$\vec{AB} \cdot (\vec{AC } \times \vec {AD}) = 936.$$ $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6 = 156.$$ Respuesta: El volumen de la pirámide formada por los vértices A, B, C y D es igual a 156. No. 3.12. Dada la fuerza F(2;2;9) aplicada al punto A(4;2;-3). Solución: a) Para calcular el trabajo de la fuerza F, es necesario encontrar el producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza: $$W = \vec{F} \cdot \vec {s},$$ donde $\vec{F}$ - vector de fuerza, $\vec{s}$ es el vector de desplazamiento del punto de aplicación de fuerza. El vector de desplazamiento del punto de aplicación de fuerza: $$\vec{s} = \vec{AB} = (-2;2;3),$$ donde el punto B(2;4;0). Entonces el trabajo de la fuerza F al mover el punto de aplicación de la fuerza del punto A al punto B es igual a: $$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = 14.$$ Respuesta: trabajo de fuerza F al mover el punto de aplicación de la fuerza del punto A al punto B es igual a 14. b) Momento de fuerza F relativo B se puede calcular usando la fórmula: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F},$$ donde $\vec{r_{AB}}$ es el vector de radio de el punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto B. El radio vector del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto B: $$\vec{r_{AB}} = \vec{BA} = (2;-2; -3).$$ Entonces el momento de la fuerza F relativo al punto B es igual a: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F} = (-22;22 ;8).$$ El módulo de momento es: $$|\vec{M_B} | = \sqrt{(-22)^2 + 22^2 + 8^2} \approx 30.33.$$ Respuesta: el módulo del momento de fuerza F relativo al punto B es aproximadamente aproximadamente

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