オプション 12 IDZ 2.2

1.12号。特定のベクトルのセットに対して、次の手順を実行する必要があります。

• a) 3 つのベクトルの混合積を計算します。
• b) ベクトル積の係数を求めます。
• c) 2 つのベクトルのスカラー積を計算します。
• d) 2 つのベクトルが同一線上にあるか直交しているかをチェックします。
• e) 3 つのベクトルが同一平面上にあるかどうかを確認します: a(-4;3;-7);b(4;6;-2);c(6;9;-3)。

解決策: a) 3 つのベクトルの混合積を計算するには、これらのベクトルの座標で構成される行列の行列式を見つける必要があります: $$\begin{vmatrix} -4 & 3 & -7 \\ 4 & 6 & -2 \\ 6 & 9 & - 3 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 6 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) \cdot 6 + (-7) \cdot 4 \ cdot 9 - (-7) \cdot 6 \cdot (-2) - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \cdot 9 = -84.$$ 答え: -84。 b) ベクトル a とベクトル b のベクトル積の法を求めるには、ベクトル積の結果として得られるベクトルの長さを計算する必要があります。ベクトル積の係数を計算する式は次のとおりです。 $$|a \times b| = |(-39;14;30)| = \sqrt{(-39)^2 + 14^2 + 30^2} \約 42.01.$$ 答え: 42.01. c) 2 つのベクトルのスカラー積を計算するには、これらのベクトルの対応する座標を乗算し、その結果の積を加算する必要があります。 $$a \cdot b = (-4) \cdot 4 + 3 \cdot 6 + (- 7) \cdot (-2) = 8.$$ 答え: 8. d) 2 つの非ゼロ ベクトルは、一方が他方の倍数である場合、共線的になります。 2 つの非ゼロ ベクトルは、その内積がゼロの場合に直交します。ベクトル a と b のスカラー積を計算してみましょう。 $$a \cdot b = 8 \neq 0,$$ は、ベクトル a と b が直交していないことを意味します。次に、ベクトル a と b のベクトル積を求めてみましょう: $$a \times b = (-39;14;30).$$ ベクトル a と c のスカラー積を計算しましょう: $$a \cdot c = ( -4) \cdot 6 + 3 \cdot 9 + (-7) \cdot (-3) = 51,$$ は、ベクトル a とベクトル c が直交していないことを意味します。次に、ベクトル a と c のベクトル積を求めましょう: $$a \times c = (-12;-34;-6).$$ ベクトル b と c のスカラー積を計算してみましょう: $$b \cdot c = 4 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-3) = 72,$$ は、ベクトル b と c が直交していないことを意味します。次に、ベクトル b とベクトル c のベクトル積を求めます。 $$b \times c =(33;26;18).$$ したがって、2 つまたは 3 つのベクトルは直交せず、したがって同一平面上にはなりません。 e) 答え: 3 つのベクトルはいずれも、他の 2 つのベクトルと同一平面上にありません。 2.12号。ピラミッドの頂点は次のように与えられます: A(7;4;9)、B(1;-2;-3)、C(-5;-3;0)、D(1;-3;4)。解決策: 頂点 A、B、C、D によって形成されるピラミッドの体積を求めるには、ベクトル AB、AC、AD によって形成される直方体の体積の半分を求める必要があります。平行六面体の体積は、次の式を使用して計算できます: $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6.$$ 計算: $$\vec {AB} = ( -6;-6;-12),$$ $$\vec{AC} = (-12;-7;-9),$$ $$\vec{AD} = (-6; -7;-5 ),$$ $$\vec{AC} \times \vec{AD} = (-26;78;-42),$$ $$\vec{AB} \cdot (\vec{AC } \times \vec {AD}) = 936.$$ $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6 = 156.$$ 答え:頂点 A、B、C、D によって形成されるピラミッドの体積は 156 に等しい。 No. 3.12。点 A(4;2;-3) に加えられる力 F(2;2;9) が与えられます。解決策: a) 力の仕事 F を計算するには、力ベクトルと力の作用点の変位ベクトルのスカラー積を求める必要があります: $$W = \vec{F} \cdot \vec {s},$$ ここで、$\vec{F}$ - 力ベクトル、$\vec{s}$ は力の適用点の変位ベクトルです。力の適用点の変位ベクトル: $$\vec{s} = \vec{AB} = (-2;2;3),$$ ここで点 B(2;4;0)。この場合、力の作用点を点 A から点 B に移動するときの力 F の仕事は次と等しくなります: $$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = 14.$$ 答え: 力の仕事力の作用点を点 A から点 B に移動するときの F は 14 に等しくなります。 b) 相対力 F のモーメント B は次の式を使用して計算できます: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F},$$ ここで、$\vec{r_{AB}}$ は次の半径ベクトルです。点 B を基準とした力の作用点。点 B を基準とした力の作用点の半径ベクトル: $$\vec{r_{AB}} = \vec{BA} = (2;-2; -3).$$ この場合、点 B を基準とした力 F のモーメントは次と等しくなります。 $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F} = (-22;22 ;8).$$ モーメント係数は次のとおりです: $$|\vec{M_B} | = \sqrt{(-22)^2 + 22^2 + 8^2} \およそ 30.33.$$ 答え: 点 B に対する力 F のモーメント係数は、およそ次のとおりです。

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