Επιλογή 12 IDZ 2.2

Νο. 1.12. Για ένα δεδομένο σύνολο διανυσμάτων, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

α) να υπολογίσετε το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων.
β) βρείτε το μέτρο του διανυσματικού γινομένου.
γ) να υπολογίσετε το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων.
δ) ελέγξτε εάν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά ή ορθογώνια.
ε) ελέγξτε εάν τρία διανύσματα είναι συνεπίπεδα: a(-4;3;-7);b(4;6;-2);c(6;9;-3).

Λύση: α) Για να υπολογιστεί το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων, είναι απαραίτητο να βρεθεί η ορίζουσα του πίνακα που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων: $$\begin{vmatrix} -4 & 3 & -7 \\ 4 & 6 & -2 \\ 6 & 9 & - 3 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 6 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) \cdot 6 + (-7) \cdot 4 \ cdot 9 - (-7) \cdot 6 \cdot (-2) - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \cdot 9 = -84.$$ Απάντηση: -84. β) Για την εύρεση του συντελεστή του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων α και β, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το μήκος του διανύσματος που προκύπτει ως αποτέλεσμα του διανυσματικού γινομένου τους. Ο τύπος για τον υπολογισμό του συντελεστή ενός διανυσματικού γινομένου είναι: $$|a \times b| = |(-39;14;30)| = \sqrt{(-39)^2 + 14^2 + 30^2} \περίπου 42,01.$$ Απάντηση: 42,01. γ) Για να υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων και να προσθέσουμε τα γινόμενα που προκύπτουν: $$a \cdot b = (-4) \cdot 4 + 3 \cdot 6 + (- 7) \cdot (-2) = 8.$$ Απάντηση: 8. δ) Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα είναι συγγραμμικά αν το ένα από αυτά είναι πολλαπλάσιο του άλλου. Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα είναι ορθογώνια εάν το γινόμενο κουκίδων τους είναι μηδέν. Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και b: $$a \cdot b = 8 \neq 0,$$ σημαίνει ότι τα διανύσματα a και b δεν είναι ορθογώνια. Στη συνέχεια, ας βρούμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων a και b: $$a \times b = (-39;14;30).$$ Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και c: $$a \cdot c = ( -4) \cdot 6 + 3 \cdot 9 + (-7) \cdot (-3) = 51,$$ σημαίνει ότι τα διανύσματα a και c δεν είναι ορθογώνια. Στη συνέχεια, ας βρούμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων a και c: $$a \times c = (-12;-34;-6).$$ Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων b και c: $$b \cdot c = 4 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-3) = 72,$$ σημαίνει ότι τα διανύσματα b και c δεν είναι ορθογώνια. Στη συνέχεια, βρίσκουμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων b και c: $$b \times c =(33;26;18).$$ Έτσι, ούτε δύο ούτε τρία διανύσματα είναι ορθογώνια και επομένως δεν μπορούν να είναι ομοεπίπεδα. ε) Απάντηση: Κανένα από τα τρία διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδο με τα άλλα δύο διανύσματα. Νο. 2.12. Δίνονται οι κορυφές της πυραμίδας: A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3;4). Λύση: Για να βρεθεί ο όγκος της πυραμίδας που σχηματίζεται από τις κορυφές A, B, C και D, είναι απαραίτητο να βρεθεί ο μισός όγκος του παραλληλεπίπεδου που σχηματίζουν τα διανύσματα AB, AC και AD. Ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6.$$ Υπολογισμοί: $$\vec {AB} = ( -6;-6;-12),$$$$\vec{AC} = (-12;-7;-9),$$$$\vec{AD} = (-6; -7;-5 ),$$ $$\vec{AC} \times \vec{AD} = (-26;78;-42),$$ $$\vec{AB} \cdot (\vec{AC } \times \vec {AD}) = 936.$$ $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6 = 156.$$ Απάντηση: όγκος της πυραμίδας που σχηματίζεται από τις κορυφές A, B, C και D είναι ίσος με 156. Αρ. 3.12. Δίνεται η δύναμη F(2;2;9) που εφαρμόζεται στο σημείο A(4;2;-3). Λύση: α) Για τον υπολογισμό του έργου της δύναμης F, είναι απαραίτητο να βρεθεί το κλιμακωτό γινόμενο του διανύσματος δύναμης και του διανύσματος μετατόπισης του σημείου εφαρμογής της δύναμης: $$W = \vec{F} \cdot \vec {s},$$ όπου $\vec{F}$ - διάνυσμα δύναμης, $\vec{s}$ είναι το διάνυσμα μετατόπισης του σημείου εφαρμογής δύναμης. Το διάνυσμα μετατόπισης του σημείου εφαρμογής δύναμης: $$\vec{s} = \vec{AB} = (-2;2;3),$$ όπου το σημείο B(2;4;0). Τότε το έργο της δύναμης F κατά τη μετακίνηση του σημείου εφαρμογής της δύναμης από το σημείο Α στο σημείο Β είναι ίσο με: $$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = 14.$$ Απάντηση: έργο δύναμης Η F όταν μετακινείται το σημείο εφαρμογής της δύναμης από το σημείο Α στο σημείο Β ισούται με 14. β) Ροπή της δύναμης F σχετική Το B μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F},$$ όπου $\vec{r_{AB}}$ είναι το διάνυσμα ακτίνας του το σημείο εφαρμογής της δύναμης σε σχέση με το σημείο Β. Το διάνυσμα ακτίνας του σημείου εφαρμογής της δύναμης σε σχέση με το σημείο Β: $$\vec{r_{AB}} = \vec{BA} = (2;-2; -3).$$ Τότε η ροπή της δύναμης F σε σχέση με το σημείο B είναι ίση με: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F} = (-22;22 ;8).$$ Ο συντελεστής ροπής είναι: $$|\vec{M_B} | = \sqrt{(-22)^2 + 22^2 + 8^2} \περίπου 30,33.$$ Απάντηση: το μέτρο της ροπής της δύναμης F σε σχέση με το σημείο Β είναι περίπου

Αυτό το γινόμενο είναι ένα ψηφιακό προϊόν που αντιπροσωπεύει λύσεις σε προβλήματα της γραμμικής άλγεβρας και της διανυσματικής άλγεβρας, συμπεριλαμβανομένης της εύρεσης του βαθμωτού και του διανυσματικού γινόμενου των διανυσμάτων, του προσδιορισμού της συγγραμμικότητας και της ορθογωνικότητας των διανυσμάτων, του υπολογισμού του όγκου μιας πυραμίδας και της ροπής δύναμης σε σχέση με το σημείο της εφαρμογής της δύναμης.

Αυτό το προϊόν παρέχει λεπτομερείς λύσεις σε κάθε πρόβλημα, καθώς και μια εξήγηση βήμα προς βήμα της διαδικασίας επίλυσης, η οποία θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλύτερα το υλικό και να προετοιμαστείτε για μια εξέταση ή δοκιμή.

Επιπλέον, το προϊόν έχει σχεδιαστεί σε μια όμορφη μορφή html, που το καθιστά βολικό και ευχάριστο στην ανάγνωση. Κάθε εργασία παρουσιάζεται σε ξεχωριστό μπλοκ με φωτεινό τίτλο, που απλοποιεί την πλοήγηση και την αναζήτηση των απαραίτητων πληροφοριών.

Με την αγορά αυτού του προϊόντος, λαμβάνετε χρήσιμο και υψηλής ποιότητας υλικό που θα σας βοηθήσει να κατακτήσετε με επιτυχία το θέμα της γραμμικής και διανυσματικής άλγεβρας, καθώς και να προετοιμαστείτε για μια εξέταση ή δοκιμή.

Αυτό το γινόμενο είναι μια συλλογή λύσεων σε προβλήματα στη γραμμική και διανυσματική άλγεβρα, συμπεριλαμβανομένης της εύρεσης του μικτού, βαθμωτού και διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων, τον προσδιορισμό της συγγραμμικότητας και της ορθογωνικότητας των διανυσμάτων, τον υπολογισμό του όγκου της πυραμίδας και της ροπής δύναμης σε σχέση με το σημείο της εφαρμογής της δύναμης. Κάθε πρόβλημα παρουσιάζεται σε ξεχωριστό μπλοκ, το οποίο παρέχει μια βήμα προς βήμα επεξήγηση της διαδικασίας επίλυσης χρησιμοποιώντας κατάλληλους τύπους και μεθόδους.

Ο σχεδιασμός του προϊόντος είναι κατασκευασμένος σε όμορφη μορφή html, που το καθιστά βολικό και ευχάριστο στην ανάγνωση. Υπάρχουν επίσης φωτεινές επικεφαλίδες για κάθε εργασία, διευκολύνοντας την πλοήγηση και την εύρεση των πληροφοριών που χρειάζεστε.

Με την αγορά αυτού του προϊόντος, λαμβάνετε χρήσιμο και υψηλής ποιότητας υλικό που θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλύτερα το υλικό για τη γραμμική και διανυσματική άλγεβρα, καθώς και να προετοιμαστείτε για μια εξέταση ή δοκιμή.

***

Λυπούμαστε, δεν μπορώ να ικανοποιήσω το αίτημά σας. Μπορώ να απαντήσω σε ερωτήσεις μόνο στα Αγγλικά. Εάν θέλετε, μπορώ να σας βοηθήσω με τη μετάφραση του αιτήματός σας στα αγγλικά.

***

Εξαιρετικό ψηφιακό προϊόν που με βοήθησε να αντιμετωπίσω το IDD χωρίς καμία επιπλέον προσπάθεια!
Σας ευχαριστώ για μια τόσο βολική επιλογή για το IDZ, όλα τα υλικά είναι ήδη στον υπολογιστή μου!
Γρήγορη και εύκολη αγορά ψηφιακών αγαθών, το προτείνω σε όλους!
Ιδανική επιλογή για όσους θέλουν να εξοικονομήσουν χρόνο και να αποκτήσουν όλα τα απαραίτητα υλικά σε ένα μέρος
Άριστη ποιότητα υλικών, επιτέλους μπόρεσα να καταλάβω το θέμα χάρη σε αυτό το ψηφιακό προϊόν!
Ένας πολύ βολικός τρόπος πρόσβασης στα απαραίτητα υλικά χωρίς να χρειάζεται να τα αναζητήσετε στο Διαδίκτυο
Σας ευχαριστώ για μια τόσο πρακτική έκδοση του IDS, τώρα μπορώ γρήγορα και εύκολα να προετοιμαστώ για τις εξετάσεις!