Opcja 12 IDZ 2.2

Nr 1.12. Dla danego zbioru wektorów należy wykonać następujące kroki:

a) obliczyć iloczyn mieszany trzech wektorów;
b) znaleźć moduł iloczynu wektorowego;
c) obliczyć iloczyn skalarny dwóch wektorów;
d) sprawdzić, czy dwa wektory są współliniowe czy ortogonalne;
e) sprawdź, czy trzy wektory są współpłaszczyznowe: a(-4;3;-7);b(4;6;-2);c(6;9;-3).

Rozwiązanie: a) Aby obliczyć iloczyn mieszany trzech wektorów należy znaleźć wyznacznik macierzy złożonej ze współrzędnych tych wektorów: $$\begin{vmatrix} -4 & 3 & -7 \\ 4 & 6 & -2 \\ 6 i 9 & - 3 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 6 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) \cdot 6 + (-7) \cdot 4 \ cdot 9 - (-7) \cdot 6 \cdot (-2) - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \cdot 9 = -84.$$ Odpowiedź: -84. b) Aby znaleźć moduł iloczynu wektorów a i b, należy obliczyć długość wektora otrzymaną w wyniku ich iloczynu wektorowego. Wzór na obliczenie modułu iloczynu wektorowego to: $$|a \times b| = |(-39;14;30)| = \sqrt{(-39)^2 + 14^2 + 30^2} \około 42,01.$$ Odpowiedź: 42,01. c) Aby obliczyć iloczyn skalarny dwóch wektorów, należy pomnożyć odpowiednie współrzędne tych wektorów i dodać otrzymane iloczyny: $$a \cdot b = (-4) \cdot 4 + 3 \cdot 6 + (- 7) \cdot (-2) = 8.$$ Odpowiedź: 8. d) Dwa niezerowe wektory będą współliniowe, jeśli jeden z nich będzie wielokrotnością drugiego. Dwa niezerowe wektory będą ortogonalne, jeśli ich iloczyn skalarny będzie wynosić zero. Obliczmy iloczyn skalarny wektorów aib: $$a \cdot b = 8 \neq 0,$$ oznacza, że wektory aib nie są ortogonalne. Następnie znajdźmy iloczyn wektorowy wektorów aib: $$a \times b = (-39;14;30).$$ Obliczmy iloczyn skalarny wektorów aib: $$a \cdot c = ( -4) \cdot 6 + 3 \cdot 9 + (-7) \cdot (-3) = 51,$$ oznacza, że wektory a i c nie są ortogonalne. Następnie znajdźmy iloczyn wektorowy wektorów a i c: $$a \times c = (-12;-34;-6).$$ Obliczmy iloczyn skalarny wektorów b i c: $$b \cdot c = 4 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-3) = 72,$$ oznacza, że wektory b i c nie są ortogonalne. Następnie znajdujemy iloczyn wektorowy wektorów b i c: $$b \times c =(33;26;18).$$ Zatem ani dwa, ani trzy wektory nie są ortogonalne, a zatem nie mogą być współpłaszczyznowe. e) Odpowiedź: Żaden z trzech wektorów nie jest współpłaszczyznowy z dwoma pozostałymi wektorami. Nr 2.12. Dane są wierzchołki piramidy: A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3;4). Rozwiązanie: Aby znaleźć objętość ostrosłupa utworzonego przez wierzchołki A, B, C i D, należy znaleźć połowę objętości równoległościanu utworzonego przez wektory AB, AC i AD. Objętość równoległościanu można obliczyć ze wzoru: $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6.$$ Obliczenia: $$\vec {AB} = ( -6;-6;-12),$$ $$\vec{AC} = (-12;-7;-9),$$ $$\vec{AD} = (-6; -7;-5 ),$$ $$\vec{AC} \times \vec{AD} = (-26;78;-42),$$ $$\vec{AB} \cdot (\vec{AC } \times \vec {AD}) = 936,$$ $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6 = 156,$$ Odpowiedź: objętość piramidy utworzonej przez wierzchołki A, B, C i D wynosi 156. Nr 3.12. Podana jest siła F(2;2;9) przyłożona do punktu A(4;2;-3). Rozwiązanie: a) Aby obliczyć pracę siły F, należy znaleźć iloczyn skalarny wektora siły i wektora przemieszczenia punktu przyłożenia siły: $$W = \vec{F} \cdot \vec {s},$$ gdzie $\vec{F}$ - wektor siły, $\vec{s}$ jest wektorem przemieszczenia punktu przyłożenia siły. Wektor przemieszczenia punktu przyłożenia siły: $$\vec{s} = \vec{AB} = (-2;2;3),$$ gdzie punkt B(2;4;0). Wtedy praca siły F podczas przesuwania punktu przyłożenia siły z punktu A do punktu B jest równa: $$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = 14.$$ Odpowiedź: praca siły F przy przesunięciu punktu przyłożenia siły z punktu A do punktu B wynosi 14. b) Moment siły F względny B można obliczyć ze wzoru: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F},$$ gdzie $\vec{r_{AB}}$ jest wektorem promienia punkt przyłożenia siły względem punktu B. Wektor promienia punktu przyłożenia siły względem punktu B: $$\vec{r_{AB}} = \vec{BA} = (2;-2;- 3).$$ Wtedy moment siły F względem punktu B jest równy: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F} = (-22;22; 8).$$ Moduł momentu wynosi: $$|\vec{M_B} | = \sqrt{(-22)^2 + 22^2 + 8^2} \około 30,33,$$ Odpowiedź: moduł momentu siły F względem punktu B wynosi w przybliżeniu w przybliżeniu

Ten produkt to produkt cyfrowy, który reprezentuje rozwiązania problemów algebry liniowej i algebry wektorowej, w tym znajdowanie iloczynu skalarnego i wektorowego wektorów, określanie współliniowości i ortogonalności wektorów, obliczanie objętości piramidy i momentu siły względem punktu przyłożenia siły.

Produkt ten zawiera szczegółowe rozwiązania każdego problemu, a także objaśnienie krok po kroku procesu rozwiązania, co pomoże Ci lepiej zrozumieć materiał i przygotować się do egzaminu lub testu.

Dodatkowo produkt zaprojektowano w pięknym formacie HTML, dzięki czemu jego lektura jest wygodna i przyjemna. Każde zadanie przedstawione jest w osobnym bloku z jasnym tytułem, co ułatwia nawigację i wyszukiwanie niezbędnych informacji.

Kupując ten produkt otrzymujesz przydatne i wysokiej jakości materiały, które pomogą Ci skutecznie opanować temat algebry liniowej i wektorowej, a także przygotować się do egzaminu lub kolokwium.

Produkt ten jest zbiorem rozwiązań problemów algebry liniowej i wektorowej, obejmujących znajdowanie iloczynu mieszanego, skalarnego i wektorowego wektorów, wyznaczanie współliniowości i ortogonalności wektorów, obliczanie objętości ostrosłupa i momentu siły względem punktu przyłożenia siły. Każdy problem przedstawiony jest w osobnym bloku, który krok po kroku wyjaśnia proces rozwiązania przy użyciu odpowiednich wzorów i metod.

Projekt produktu wykonany jest w pięknym formacie HTML, dzięki czemu czytanie jest wygodne i przyjemne. Każde zadanie ma jasne nagłówki, co ułatwia nawigację i znajdowanie potrzebnych informacji.

Kupując ten produkt otrzymujesz przydatne i wysokiej jakości materiały, które pomogą Ci lepiej zrozumieć materiał z algebry liniowej i wektorowej, a także przygotować się do egzaminu lub kolokwium.

***

Przepraszam, nie mogę spełnić Twojej prośby. Na zapytania jestem w stanie odpowiedzieć wyłącznie w języku angielskim. Jeśli chcesz, mogę pomóc Ci w przetłumaczeniu Twojej prośby na język angielski.

***

Świetny produkt cyfrowy, który pomógł mi uporać się z IDD bez dodatkowego wysiłku!
Dziękuję za tak wygodną opcję dla IDZ, wszystkie materiały są już na moim komputerze!
Szybki i łatwy zakup towarów cyfrowych, polecam każdemu!
Idealna opcja dla tych, którzy chcą zaoszczędzić czas i uzyskać wszystkie niezbędne materiały w jednym miejscu
Doskonała jakość materiałów, dzięki temu cyfrowemu produktowi w końcu udało mi się zrozumieć temat!
Bardzo wygodny sposób na dostęp do potrzebnych materiałów bez konieczności ich wyszukiwania w Internecie
Dziękuję za tak praktyczną wersję IDS, teraz mogę szybko i łatwo przygotować się do egzaminu!