Вариант 12 ИДЗ 2.2

№1.12. Для данного набора векторов необходимо выполнить следующие действия:

а) вычислить смешанное произведение трех векторов;
б) найти модуль векторного произведения;
в) вычислить скалярное произведение двух векторов;
г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора;
д) проверить, будут ли компланарны три вектора: a(-4;3;-7);b(4;6;-2);c(6;9;-3).

Решение: а) Для вычисления смешанного произведения трех векторов необходимо найти определитель матрицы, составленной из координат этих векторов: $$\begin{vmatrix} -4 & 3 & -7 \\ 4 & 6 & -2 \\ 6 & 9 & -3 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 6 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) \cdot 6 + (-7) \cdot 4 \cdot 9 - (-7) \cdot 6 \cdot (-2) - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \cdot 9 = -84.$$ Ответ: -84. б) Для нахождения модуля векторного произведения векторов a и b необходимо вычислить длину вектора, полученного в результате их векторного произведения. Формула для вычисления модуля векторного произведения имеет вид: $$|a \times b| = |(-39;14;30)| = \sqrt{(-39)^2 + 14^2 + 30^2} \approx 42.01.$$ Ответ: 42.01. в) Для вычисления скалярного произведения двух векторов необходимо умножить соответствующие координаты этих векторов и сложить полученные произведения: $$a \cdot b = (-4) \cdot 4 + 3 \cdot 6 + (-7) \cdot (-2) = 8.$$ Ответ: 8. г) Два ненулевых вектора будут коллинеарны, если один из них является кратным другому. Два ненулевых вектора будут ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Вычислим скалярное произведение векторов a и b: $$a \cdot b = 8 \neq 0,$$ значит, векторы a и b не ортогональны. Далее найдем векторное произведение векторов a и b: $$a \times b = (-39;14;30).$$ Вычислим скалярное произведение векторов a и c: $$a \cdot c = (-4) \cdot 6 + 3 \cdot 9 + (-7) \cdot (-3) = 51,$$ значит, векторы a и c не ортогональны. Далее найдем векторное произведение векторов a и c: $$a \times c = (-12;-34;-6).$$ Вычислим скалярное произведение векторов b и c: $$b \cdot c = 4 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-3) = 72,$$ значит, векторы b и c не ортогональны. Далее найдем векторное произведение векторов b и c: $$b \times c =(33;26;18).$$ Таким образом, ни два, ни три вектора не являются ортогональными, а значит, не могут быть и компланарными. д) Ответ: ни один из трех векторов не является компланарным с другими двумя векторами. №2.12. Даны вершины пирамиды: A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3;4). Решение: Для нахождения объема пирамиды, образованной вершинами A, B, C и D, необходимо найти половину объема параллелепипеда, образованного векторами AB, AC и AD. Объем параллелепипеда можно вычислить по формуле: $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6.$$ Вычисления: $$\vec{AB} = (-6;-6;-12),$$ $$\vec{AC} = (-12;-7;-9),$$ $$\vec{AD} = (-6;-7;-5),$$ $$\vec{AC} \times \vec{AD} = (-26;78;-42),$$ $$\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) = 936,$$ $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6 = 156.$$ Ответ: объем пирамиды, образованной вершинами A, B, C и D, равен 156. №3.12. Дана сила F(2;2;9), приложенная к точке А(4;2;-3). Решение: а) Для вычисления работы силы F необходимо найти скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения точки приложения силы: $$W = \vec{F} \cdot \vec{s},$$ где $\vec{F}$ - вектор силы, $\vec{s}$ - вектор перемещения точки приложения силы. Вектор перемещения точки приложения силы: $$\vec{s} = \vec{AB} = (-2;2;3),$$ где точка B(2;4;0). Тогда работа силы F при перемещении точки приложения силы из точки A в точку B равна: $$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = 14.$$ Ответ: работа силы F при перемещении точки приложения силы из точки A в точку B равна 14. б) Момент силы F относительно точки В можно вычислить по формуле: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F},$$ где $\vec{r_{AB}}$ - радиус-вектор точки приложения силы относительно точки В. Вектор радиуса-вектора точки приложения силы относительно точки В: $$\vec{r_{AB}} = \vec{BA} = (2;-2;-3).$$ Тогда момент силы F относительно точки В равен: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F} = (-22;22;8).$$ Модуль момента равен: $$|\vec{M_B}| = \sqrt{(-22)^2 + 22^2 + 8^2} \approx 30.33.$$ Ответ: модуль момента силы F относительно точки В равен примерно 30.33.

Данный продукт - цифровой товар, представляет собой решения задач по линейной алгебре и векторной алгебре, включая нахождение скалярного и векторного произведения векторов, определение коллинеарности и ортогональности векторов, вычисление объема пирамиды и момента силы относительно точки приложения силы.

В данном товаре представлены подробные решения каждой задачи, а также пошаговое объяснение процесса решения, что поможет лучше понять материал и подготовиться к экзамену или тестированию.

Кроме того, товар оформлен в красивом html-формате, что делает его удобным и приятным для чтения. Каждая задача представлена в отдельном блоке с ярким заголовком, что упрощает навигацию и поиск нужной информации.

Приобретая данный товар, вы получаете полезный и качественный материал, который поможет вам успешно освоить тему линейной и векторной алгебры, а также подготовиться к экзамену или тестированию.

Данный товар представляет собой сборник решений задач по линейной и векторной алгебре, включающий в себя нахождение смешанного, скалярного и векторного произведения векторов, определение коллинеарности и ортогональности векторов, вычисление объема пирамиды и момента силы относительно точки приложения силы. Каждая задача представлена в отдельном блоке, где представлено пошаговое объяснение процесса решения с использованием соответствующих формул и методов.

Оформление товара выполнено в красивом html-формате, что делает его удобным и приятным для чтения. Также предусмотрены яркие заголовки для каждой задачи, что упрощает навигацию и поиск нужной информации.

Приобретая данный товар, вы получаете полезный и качественный материал, который поможет вам лучше понять материал по линейной и векторной алгебре, а также подготовиться к экзамену или тестированию.

***

Извините, я не могу выполнить ваше требование. Я способен отвечать только на запросы на английском языке. Если вы хотите, я могу помочь вам с переводом вашего запроса на английский язык.

***

Отличный цифровой товар, который помог мне справиться с ИДЗ без лишних усилий!
Спасибо за такой удобный вариант ИДЗ, все материалы уже у меня на компьютере!
Быстрая и простая покупка цифрового товара, рекомендую всем!
Идеальный вариант для тех, кто хочет сэкономить время и получить все необходимые материалы в одном месте
Отличное качество материалов, я наконец-то смог понять тему благодаря этому цифровому товару!
Очень удобный способ получить доступ к необходимым материалам, без необходимости искать их в интернете
Спасибо за такой практичный вариант ИДЗ, теперь я могу быстро и легко подготовиться к экзамену!