Opção 2 IDZ 3.1

№1.2

Dados quatro pontos A1(3;–1;2); A2(–1;0;1); A3(1;7;3); A4(8;5;8).

a) Vamos criar uma equação para o plano A1A2A3:

Vetor deitado no avião A1A2A3:

A1A2 = (-1 - 3; 0 + 1; 1 - 2) = (-4; 1; -1)

A1A3 = (1 - 3; 7 + 1; 3 - 2) = (-2; 8; 1)

Vetor normal do plano A1A2A3:

n = [A1A2, A1A3] = (-1 - 3; 3 - 2; 0 - 8) = (-4; 1; -8)

Equação plana:

-4x + y - 8z + d = 0

para encontrar d, substitua as coordenadas do ponto A1:

-4 * 3 + (-1) * (-1) - 8 * 2 + d = 0

d = 26

Equação do plano A1A2A3:

-4x + y - 8z + 26 = 0

b) Vamos criar uma equação para a reta A1A2:

Vetor de direção da reta A1A2:

A1A2 = (-4; 1; -1)

Equação de uma linha reta:

x = 3 - 4t, y = -1 + t, z = 2 - t, t ∈ R

c) Vamos criar uma equação para a reta A4M perpendicular ao plano A1A2A3:

Vetor normal do plano A1A2A3:

n = (-4; 1; -8)

Vetor direcional A4M:

A4M = (x - 8; y - 5; z - 8)

Condição de perpendicularidade:

n * A4M = 0

-4(x - 8) + 1(y - 5) - 8(z - 8) = 0

Equação da linha A4M:

x = 8 + 2t, y = 5 - t, z = 8 + 0,5t, t ∈ R

d) Vamos criar uma equação para a reta A3N paralela à reta A1A2:

Vetor de direção da reta A1A2:

A1A2 = (-4; 1; -1)

Equação da linha A3N:

x = 1 + (-4)t, y = 7 + t, z = 3 - t, t ∈ R

e) Vamos criar uma equação para um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2:

Vetor de direção da reta A1A2:

A1A2 = (-4; 1; -1)

Vetor plano normal:

n = (-4; 1; -1)

Equação plana:

-4x + y - z + d = 0

para encontrar d, substitua as coordenadas do ponto A4:

-4 * 8 + 5 - 8 + d = 0

d = 27

Equação plana:

-4x + y - z + 27 = 0

f) Encontre o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3:

Vetor de direção reto A1A4:

A1A4 = (5; 6; 6)

Vetor normal do plano A1A2A3:

n = (-4; 1; -8)

O seno do ângulo entre os vetores:

sen θ = |[А1А4, n]| / |А1А4| * |n|

senθ = |(48; 38; 29)| / √(5^2 + 6^2 + 6^2) * √(16 + 1 + 64)

sen θ = 115 / √24545

g) Vamos encontrar o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3:

Vetor normal do plano de coordenadas Oxy:

n = (0; 0; 1)

Vetor normal do plano A1A2A3:

n = (-4; 1; -8)

O cosseno do ângulo entre os vetores:

porque θ = |n1 * n2| / |n1| * |n2|

cosθ = |-8| / √(16 + 1 + 64) * √1

porque θ = -8 / √81

№2.2

Vamos criar uma equação para um plano que passa pelo meio do segmento M1M2 perpendicular a este segmento se M1(1;5;6); M2(–1;7;10).

Vetor de direção do segmento M1M2:

M1M2 = (-2; 2; 4)

Coordenadas do meio do segmento M1M2:

Mm = ((1 + (-1)) / 2; (5 + 7) / 2; (6 + 10) / 2) = (0; 6; 8)

Vetor normal do plano desejado:

n = M1M2 = (-2; 2; 4)

Equação plana:

-2x + 2y + 4z + d = 0

para encontrar d, substitua as coordenadas do ponto Mm:

-2 * 0 + 2 * 6 + 4 * 8 + d = 0

d = -44

Equação plana:

-2x + 2y + 4z - 44 = 0

№3.2

Prove que a reta ...... é paralela ao plano 2x + y – z = 0; e a linha reta ..... está neste plano.

É necessário complementar o enunciado do problema com informações sobre as falas para que a resposta à questão colocada possa ser dada. Especifique a condição.

Descrição do produto - Variante 2 IDZ 3.1

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Apresento a vocês uma descrição do produto:

IDZ 3.1 é uma tarefa matemática que consiste em três números.

A primeira questão fornece as coordenadas de quatro pontos no espaço. É necessário escrever equações para um plano que passa por três desses pontos, uma reta que passa por dois desses pontos e um plano que passa por um desses pontos e é perpendicular à reta. Você também precisa encontrar o seno e o cosseno dos ângulos entre uma determinada linha e um plano.

Na segunda questão, é necessário criar uma equação para um plano que passa pelo meio de um segmento, perpendicular a esse segmento, cujas coordenadas também são fornecidas.

Na terceira questão você precisa provar que uma linha é paralela a um determinado plano e a outra está neste plano. Para isso, é necessário utilizar o conhecimento do paralelismo de uma reta e de um plano, bem como do fato de que um ponto pertence a um plano se suas coordenadas satisfizerem a equação desse plano.

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