Opzione 12 IDZ 2.2

N. 1.12. Per un dato insieme di vettori, è necessario eseguire i seguenti passaggi:

• a) calcolare il prodotto misto di tre vettori;
• b) trovare il modulo del prodotto vettoriale;
• c) calcolare il prodotto scalare di due vettori;
• d) verificare se due vettori sono collineari o ortogonali;
• e) verificare se tre vettori sono complanari: a(-4;3;-7);b(4;6;-2);c(6;9;-3).

Soluzione: a) Per calcolare il prodotto misto di tre vettori, è necessario trovare il determinante della matrice composta dalle coordinate di questi vettori: $$\begin{vmatrix} -4 & 3 & -7 \\ 4 & 6 & -2 \\ 6 & 9 & - 3 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 6 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) \cdot 6 + (-7) \cdot 4 \ cdot 9 - (-7) \cdot 6 \cdot (-2) - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \cdot 9 = -84.$$ Risposta: -84. b) Per trovare il modulo del prodotto vettoriale dei vettori aeb, è necessario calcolare la lunghezza del vettore ottenuta come risultato del loro prodotto vettoriale. La formula per calcolare il modulo di un prodotto vettoriale è: $$|a \times b| = |(-39;14;30)| = \sqrt{(-39)^2 + 14^2 + 30^2} \circa 42.01.$$ Risposta: 42.01. c) Per calcolare il prodotto scalare di due vettori è necessario moltiplicare le coordinate corrispondenti di questi vettori e sommare i prodotti risultanti: $$a \cdot b = (-4) \cdot 4 + 3 \cdot 6 + (- 7) \cdot (-2) = 8.$$ Risposta: 8. d) Due vettori diversi da zero saranno collineari se uno di essi è multiplo dell'altro. Due vettori diversi da zero saranno ortogonali se il loro prodotto scalare è zero. Calcoliamo il prodotto scalare dei vettori aeb: $$a \cdot b = 8 \neq 0,$$ significa che i vettori aeb non sono ortogonali. Successivamente, troviamo il prodotto vettoriale dei vettori a e b: $$a \times b = (-39;14;30).$$ Calcoliamo il prodotto scalare dei vettori a e c: $$a \cdot c = ( -4) \cdot 6 + 3 \cdot 9 + (-7) \cdot (-3) = 51,$$ significa che i vettori a e c non sono ortogonali. Successivamente, troviamo il prodotto vettoriale dei vettori a e c: $$a \times c = (-12;-34;-6).$$ Calcoliamo il prodotto scalare dei vettori b e c: $$b \cdot c = 4 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-3) = 72,$$ significa che i vettori b e c non sono ortogonali. Successivamente, troviamo il prodotto vettoriale dei vettori b e c: $$b \times c =(33;26;18).$$ Pertanto, né due né tre vettori sono ortogonali e quindi non possono essere complanari. e) Risposta: Nessuno dei tre vettori è complanare agli altri due vettori. N. 2.12. I vertici della piramide sono dati: A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3;4). Soluzione: Per trovare il volume della piramide formata dai vertici A, B, C e D è necessario trovare la metà del volume del parallelepipedo formato dai vettori AB, AC e AD. Il volume di un parallelepipedo può essere calcolato utilizzando la formula: $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6.$$ Calcoli: $$\vec {AB} = ( -6;-6;-12),$$ $$\vec{AC} = (-12;-7;-9),$$ $$\vec{AD} = (-6; -7;-5 ),$$ $$\vec{AC} \times \vec{AD} = (-26;78;-42),$$ $$\vec{AB} \cdot (\vec{AC } \times \vec {AD}) = 936.$$ $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6 = 156.$$ Risposta: il volume della piramide formata dai vertici A, B, C e D è pari a 156. N. 3.12. Data è la forza F(2;2;9) applicata al punto A(4;2;-3). Soluzione: a) Per calcolare il lavoro della forza F, è necessario trovare il prodotto scalare del vettore forza e del vettore spostamento del punto di applicazione della forza: $$W = \vec{F} \cdot \vec {s},$$ dove $\vec{F}$ - vettore della forza, $\vec{s}$ è il vettore di spostamento del punto di applicazione della forza. Il vettore spostamento del punto di applicazione della forza: $$\vec{s} = \vec{AB} = (-2;2;3),$$ dove punto B(2;4;0). Allora il lavoro della forza F quando si sposta il punto di applicazione della forza dal punto A al punto B è uguale a: $$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = 14.$$ Risposta: lavoro della forza F quando si sposta il punto di applicazione della forza dal punto A al punto B è pari a 14. b) Momento della forza F relativo B può essere calcolato utilizzando la formula: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F},$$ dove $\vec{r_{AB}}$ è il raggio vettore di il punto di applicazione della forza rispetto al punto B. Vettore raggio del punto di applicazione della forza rispetto al punto B: $$\vec{r_{AB}} = \vec{BA} = (2;-2;- 3).$$ Allora il momento della forza F relativo al punto B è pari a: $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F} = (-22;22; 8).$$ Modulo del momento è uguale a: $$|\vec{M_B} | = \sqrt{(-22)^2 + 22^2 + 8^2} \circa 30.33.$$ Risposta: il modulo del momento della forza F relativo al punto B è approssimativamente

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